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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Do 14.09.2023 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Zeige:
[mm] \summe_{i=0}^{k} \vektor{n \\ 2i} [/mm] = [mm] 2^{n-1} [/mm] , wobei k die größte ganze Zahl kleiner oder gleich n/2 ist. |
Hallo,
ich scheitere bei dieser Aufgabe am Induktionsschritt von n--> n+1.
Insbesondere wie ich die erhaltenen Terme so zusammenfassen kann, dass sich das gewünschte Resultat ergibt.
Über eure Ratschläge wäre ich dankbar!
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Hiho,
> ich scheitere bei dieser Aufgabe am Induktionsschritt von n--> n+1.
Fallunterscheidung: n gerade und n ungerade.
> Insbesondere wie ich die erhaltenen Terme so zusammenfassen
> kann, dass sich das gewünschte Resultat ergibt.
Für den Fall n gerade benötigst du noch (bei geeigneten Summenindizes):
[mm] $\sum\vektor{n+1 \\ 2i} [/mm] = [mm] \sum\left(\vektor{n \\ 2i} + \vektor{n \\ 2i-1}\right) [/mm] = [mm] \sum\left(\vektor{n \\ 2i} + \vektor{n-1 \\ 2i-1} + \vektor{n-1 \\ 2i-2}\right) [/mm] = [mm] \sum\left(\vektor{n \\ 2i} + \vektor{n-1 \\ n - 2i} + \vektor{n-1 \\ 2i-2}\right) [/mm] = [mm] \sum\left(\vektor{n \\ 2i} + \vektor{n-1 \\ 2i} + \vektor{n-1 \\ 2i-2}\right)$
[/mm]
Gruß,
Gono
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