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| Aufgabe | Für [mm] $m,n\in\IN$ [/mm] werte man die Summe
[mm] S(m,n):=\sum_{k=0}^n\left[\binom{n+m+k}{k}2^{n+1-k}-\binom{m+n+k+1}{k}2^{n-k}\right] [/mm]
geschlossen aus.
(Hinweis: Für [mm] $1\le [/mm] j<l$ gilt [mm] $\tbinom{l}{j}-\tbinom{l}{j-1}=\tbinom{l+1}{j}-2\tbinom{l}{j-1}$.) [/mm] |
Hallo zusammen!
Kann mir jemand einen Meta-Hinweis geben, wie ich den Hinweis verwenden kann? Ich komme einfach nicht drauf.
Vielen Dank und Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 So 06.01.2013 | | Autor: | sYcore |
Hallo Mathematik-Liebhaber,
versuchs mal indem du [mm]2^{n-k}[/mm] ausklammerst und eine einfache Eigenschaft des Binominalkoeffizienten ausnutzt ;)
LG syc
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Vielen Dank schon mal für deine Antwort!
So ganz Klick gemacht hat es aber noch nicht. Ist es richtig/falsch/sinnlos/zielführend, jetzt etwas derartiges stehen zu haben:
[mm] \sum_{k=1}^{n}\left[2^{n-k}\left(\binom{n+m+k}{k}-\binom{m+n+k}{k-1}\right)\right]+2^n,\qquad n\ge1 [/mm]
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 So 06.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Vielen Dank schon mal für deine Antwort!
>
> So ganz Klick gemacht hat es aber noch nicht. Ist es
> richtig/falsch/sinnlos/zielführend, jetzt etwas derartiges
> stehen zu haben:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{n}\left[2^{n-k}\left(\binom{n+m+k}{k}-\binom{m+n+k}{k-1}\right)\right]+2^n,\qquad n\ge1[/mm]
>
Falsch und sinnlos.
Gruß Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 So 06.01.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
deine Überschrift "Induktion" lässt vermuten, dass du etwas mit diesem Beweisverfahren machen möchtest (sollst). Dazu benötigst du natürlich den Ausdruck, zu dem sich S(m,n) zusammenfassen lässt.
Hilft es dir, zu wissen, dass S(m,n) = [mm] \vektor{m+2n+1 \\ n} [/mm] ist ?
Gruß Sax.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 So 06.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Mathematik-Liebhaber,
> Für [mm]m,n\in\IN[/mm] werte man die Summe
>
> [mm]S(m,n):=\sum_{k=0}^n\left[\binom{n+m+k}{k}2^{n+1-k}-\binom{m+n+k+1}{k}2^{n-k}\right][/mm]
> geschlossen aus.
>
> (Hinweis: Für [mm]1\le j
> [mm]\tbinom{l}{j}-\tbinom{l}{j-1}=\tbinom{l+1}{j}-2\tbinom{l}{j-1}[/mm].)
> Hallo zusammen!
>
Die Summe hat fast die Form einer Teleskopsumme. Mit
[mm] $a_k={n+m+k \choose k}*2^{n-(k-1)}$
[/mm]
[mm] $b_k={n+m+k+1 \choose k}*2^{n-k}$
[/mm]
machen wir eine "teleskopische Ergänzung"
$S(m, n) = [mm] \sum_{k=0}^n (a_k [/mm] - [mm] a_{k+1} [/mm] + [mm] a_{k+1}-b_k)$
[/mm]
Bleibt noch
$R(m, n) = [mm] \sum_{k=0}^n (a_{k+1}-b_k)$
[/mm]
zu bestimmen. Mit dem Hinweis ergibt sich eine weitere Teleskopsumme.
Gruß,
Wolfgang
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Hallo, Helbig!
Ich glaube dein Hinweis hat mir schonmal sehr weitergeholfen. Auch wenn ich nicht wüsste, wie man darauf kommt. Kannst du mir sagen, wo ich mich verrechnet habe? Ich finde nichts...
$$
[mm] S(m,n)=\sum_{k=0}^{n}\left[\binom{m+n+k}{k}2^{n+1-k}-\binom{m+n+k+1}{k}2^{n-k}\right]
[/mm]
[mm] =\sum_{k=0}^{n}\left[\binom{m+n+k}{k}2^{n+k+1}-\binom{m+n+k+1}{k+1}2^{n-k}\right]
[/mm]
[mm] +\sum_{k=0}^{n}\left[\binom{m+n+k+1}{k+1}2^{n-k}-\binom{m+n+k+1}{k}2^{n-k}\right]
[/mm]
[mm] =\binom{m+n}{0}2^{n+1}-\binom{m+2n+1}{n+1}2^{n-n}
[/mm]
[mm] +\sum_{k=0}^{n}\left[\binom{m+n+k+2}{k+1}2^{n-k}-\binom{m+n+k+1}{k}2^{n-(k-1)}\right]
[/mm]
[mm] =2^{n+1}-\binom{m+2n+1}{n+1}+\binom{m+2n+2}{n+1}-\binom{m+n+1}{0}2^{n+1}
[/mm]
=
$$
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Helbig |
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> Ich glaube dein Hinweis hat mir schonmal sehr
> weitergeholfen. Auch wenn ich nicht wüsste, wie man darauf
> kommt. Kannst du mir sagen, wo ich mich verrechnet habe?
> Ich finde nichts...
Wie kommt man darauf? Übung hilft, Teleskopsummen oder fast Teleskopsummen zu erkennen. Aber wenn man das einmal, wie z. B. hier, gesehen hat, sieht man das auch zweimal... Oder, wenn man Fragen hier im Forum beantwortet. Das übt ungemein!
>
>
> [mm][/mm]
>
> [mm]S(m,n)=\sum_{k=0}^{n}\left[\binom{m+n+k}{k}2^{n+1-k}-\binom{m+n+k+1}{k}2^{n-k}\right][/mm]
>
> [mm]=\sum_{k=0}^{n}\left[\binom{m+n+k}{k}2^{n+k+1}-\binom{m+n+k+1}{k+1}2^{n-k}\right][/mm]
>
> [mm]+\sum_{k=0}^{n}\left[\binom{m+n+k+1}{k+1}2^{n-k}-\binom{m+n+k+1}{k}2^{n-k}\right][/mm]
>
> [mm]=\binom{m+n}{0}2^{n+1}-\binom{m+2n+1}{n+1}2^{n-n}[/mm]
>
> [mm]+\sum_{k=0}^{n}\left[\binom{m+n+k+2}{k+1}2^{n-k}-\binom{m+n+k+1}{k}2^{n-(k-1)}\right][/mm]
>
> [mm]=2^{n+1}-\binom{m+2n+1}{n+1}+\binom{m+2n+2}{n+1}-\binom{m+n+1}{0}2^{n+1}[/mm]
>
> =
> [mm][/mm]
Alles richtig! Nutze [mm] ${\ell \choose 0} [/mm] = 1$ für den letzten Term und
[mm] ${\ell \choose p+1} [/mm] + [mm] {\ell \choose p} [/mm] = [mm] {\ell+1 \choose p+1}$ [/mm] für die mittleren. Übrigens, aus der letzten Formel ergibt sich auch die aus dem Hinweis.
Gruß,
Wolfgang
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Hallo!
[mm]=2^{n+1}-\binom{m+2n+1}{n+1}+\binom{m+2n+2}{n+1}-\binom{m+n+1}{0}2^{n+1}[/mm]
[mm] $=\binom{m+2n+1}{n+1}+\binom{m+2n+2}{n+1}$
[/mm]
> Alles richtig! Nutze [mm]{\ell \choose 0} = 1[/mm] für den letzten
> Term und
> [mm]{\ell \choose p+1} + {\ell \choose p} = {\ell+1 \choose p+1}[/mm]
> für die mittleren. Übrigens, aus der letzten Formel
> ergibt sich auch die aus dem Hinweis.
Auf die Gefahr hin, mich völlig zu blamieren: Wie hilft mir das? Ich habe doch etwas der Form
[mm] \binom{l}{j}+\binom{l+1}{j} [/mm] . So, und jetzt hoffe ich einfach mal, nicht 3 Minuten nach Abschicken der Frage eine offensichtliche Lösung zu finden.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Di 08.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Hallo!
>
> [mm]=2^{n+1}-\binom{m+2n+1}{n+1}+\binom{m+2n+2}{n+1}-\binom{m+n+1}{0}2^{n+1}[/mm]
> [mm]=\binom{m+2n+1}{n+1}+\binom{m+2n+2}{n+1}[/mm]
Hier hast Du jetzt das Minus übersehen:
[mm]=\red{-}\binom{m+2n+1}{n+1}+\binom{m+2n+2}{n+1}[/mm]
Und jetzt siehst Du sicher, wie Du die Differenz mit Hilfe der nächsten Formel noch vereinfachen kannst:
> > [mm]{\ell \choose p+1} + {\ell \choose p} = {\ell+1 \choose p+1}[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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