Induktion Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Fr 04.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (b_{n})_{n \in \IN} [/mm] sie gegebn durch [mm] b_{0} [/mm] = 1, [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1 +b_{n}}{2 + b_{n}}.
[/mm]
(i) Zeigen Sie per Induktion, dass [mm] b_{n} \ge \bruch{1}{2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und das [mm] b_{n} [/mm] monoton fallend ist.
(ii) Berechnen Sie den Grenzwert. |
Zu (i) IA: [mm] b_{0} [/mm] = 1 [mm] \ge \bruch{1}{2}
[/mm]
IV: Es gelte [mm] b_{n} \ge \bruch{1}{2} [/mm] für ein n [mm] \in \IN
[/mm]
IS: [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1 +b_{n}}{2 + b_{n}} \ge \bruch{1 +\bruch{1}{2}}{2 + \bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{5} [/mm] > [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow b_{n} \ge \bruch{1}{2} [/mm]
IA: [mm] b_{0} [/mm] > [mm] b_{1} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
IV: Es gelte [mm] b_{n} [/mm] > [mm] b_{n+1} [/mm] für ein n [mm] \in \IN
[/mm]
IS: [mm] b_{n+2} [/mm] = [mm] \bruch{1 +b_{n+1}}{2 + b_{n+1}} >\bruch{1 +b_{n}}{2 + b_{n}} [/mm] = [mm] b_{n+1}
[/mm]
(ii) b = [mm] \bruch{1+b}{2+b} \gdw b^{2}+b-1 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] b = [mm] \bruch{\wurzel{5}-1}{2}
[/mm]
Habe ich das so richtig gemacht?
LG Loriot95
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Hallo Loriot95,
> Die Folge [mm](b_{n})_{n \in \IN}[/mm] sie gegebn durch [mm]b_{0}[/mm] = 1,
> [mm]b_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1 +b_{n}}{2 + b_{n}}.[/mm]
>
> (i) Zeigen Sie per Induktion, dass [mm]b_{n} \ge \bruch{1}{2}[/mm]
> für alle n [mm]\in \IN[/mm] und das [mm]b_{n}[/mm] monoton fallend ist.
> (ii) Berechnen Sie den Grenzwert.
> Zu (i) IA: [mm]b_{0}[/mm] = 1 [mm]\ge \bruch{1}{2}[/mm]
> IV: Es
> gelte [mm]b_{n} \ge \bruch{1}{2}[/mm] für ein n [mm]\in \IN[/mm]
>
> IS: [mm]b_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1 +b_{n}}{2 + b_{n}} \ge \bruch{1 +\bruch{1}{2}}{2 + \bruch{1}{2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{3}{5}[/mm] > [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
Hier mußt Du zunächst [mm]\bruch{1 +b_{n}}{2 + b_{n}} [/mm] nach unten abschätzen.
Das kannst Du, da
[mm]\bruch{1 +b_{n}}{2 + b_{n}} =1-\bruch{1}{2+b_{n}}[/mm]
Und da [mm]b_{n} > 0, \ n \in \IN_{0}[/mm] ist, gilt
[mm]\bruch{1 +b_{n}}{2 + b_{n}} \le 1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow b_{n} \ge \bruch{1}{2}[/mm]
>
> IA: [mm]b_{0}[/mm] > [mm]b_{1}[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
> IV: Es gelte [mm]b_{n}[/mm] > [mm]b_{n+1}[/mm] für ein n [mm]\in \IN[/mm]
> IS:
> [mm]b_{n+2}[/mm] = [mm]\bruch{1 +b_{n+1}}{2 + b_{n+1}} >\bruch{1 +b_{n}}{2 + b_{n}}[/mm]
> = [mm]b_{n+1}[/mm]
Monoton fallend heißt doch: [mm]b_{n+1} \le b_{n}[/mm]
>
> (ii) b = [mm]\bruch{1+b}{2+b} \gdw b^{2}+b-1[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] b
> = [mm]\bruch{\wurzel{5}-1}{2}[/mm]
>
> Habe ich das so richtig gemacht?
>
> LG Loriot95
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Fr 04.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Alles klar, danke :)
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