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| Aufgabe | Man zeige mit vollständiger Induktion: für alle n [mm] \in \IN_{0} [/mm] gilt:
(n!)² [mm] \ge n^{n}. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Induktionsanfang ist klar,
Der Induktionsschritt n-->n+1 ergibt
[mm] ((n+1)!)^{2} [/mm] = (n+1)!*(n+1)! = n!*(n+1)*n!*(n+1) = [mm] (n!)^{2}*(n+1)^{2} [/mm] mit der Induktionsvoraussetzung ergibt sich: [mm] \ge n^{n}\*(n+1)^{2}
[/mm]
Wenn ich das Ganze weiter ausrechne erhalte ich irgendwann:
= [mm] n^{n+2} [/mm] + [mm] 2n^{n+1} [/mm] + [mm] n^{n}
[/mm]
Leider habe ich nun keine Ahnung wie ich eine Abschätzung vornehmen kann, so dass ich als Basis n+1 erhalte, da ja das letztliche Ergebnis [mm] \ge (n+1)^{n+1} [/mm] lauten muss.
Wäre toll wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Di 13.11.2007 | | Autor: | CatDog |
Hi,
ich weiss nicht genau was Du ausgerechnet hast, aber meistens ists gar nicht so schwierig, man nimmt einfach eine Seite und rechnet mit dieser Seite solange weiter (inklusive Induktionsbedingung), bis das ganze erfüllt ist. In diesem Fall
[mm] ((n+1)!)^2 [/mm] = [mm] (n!)^2 [/mm] * [mm] (n+1)^2 \ge n^n [/mm] * [mm] (n+1)^2 \ge (n+1)^{n+1}
[/mm]
da [mm] (n+1)^{n+1} [/mm] = [mm] (n+1)^{n-1} [/mm] * [mm] (n+1)^2 [/mm]
und [mm] n^n \ge (n+1)^{n-1}
[/mm]
Ich hoff das ist halbwegs verständlich
Gruss CatDog
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