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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Do 08.11.2007 | | Autor: | sandwich |
| Aufgabe | | [mm] \produkt_{i=1}^{n} (1+x^{(2^{i})}) [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{(2^{n+1})}}{1-x^{2}} [/mm] für [mm] x\in\IR [/mm] mit [mm] x^{2}\not=1 [/mm] , [mm] n\in\IN [/mm] |
Guten Tag.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich schätze die Aufgabe ist gar nicht sonderlich schwer; ich kann nur meinen Fehler nicht finden. Vielleicht sieht ihn ja jemand von euch. :o)
(I) IA: n=1 auf der linken Seite [mm] 1+x^{2}, [/mm] auf der rechten auch. Stimmt also.
(II) IV: Die Formel gelte für beliebiges n.
Zu Zeigen: [mm] \produkt_{i=1}^{n+1} (1+x^{(2^{i})}) [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{(2^{n+2})}}{1-x^{2}}
[/mm]
IS: [mm] (1+x^{(2^{n+1})})\*\bruch{1-x^{(2^{n+1})}}{1-x^{2}} [/mm]
= [mm] \bruch{(1+x^{(2^{n+1})})\*(1-x^{(2^{n+1})})}{1-x^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1-x^{(2^{n+1})^{2}}}{1-x^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1-x^{(2^{2n+2})}}{1-x^{2}}
[/mm]
Und das ist ja nun nicht: [mm] \bruch{1-x^{(2^{n+2})}}{1-x^{2}}.
[/mm]
Würde mich freuen, wenn jemand meinen Feher sieht und antwortet..
Es grüßt,
sandwich.
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Hallo sndwich!
Du mußt den letzten Term im Produkt abspalten:
(Produkt von 1 bis n über T)*Tvon (n+1)
U=(Produkt von 1bis n überT) Induktionsannahme anwenden.
Hoffe,daß ich helfen konnte.
Grüße Martha.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:28 Do 08.11.2007 | | Autor: | sandwich |
Hallo Martha.
Vielen Dank für die schnelle Antwort.. allerdings verstehe ich entweder nicht was Du da schreibst oder aber: das habe ich doch gemacht!
So oder so, ich komme (immer noch) nicht weiter. Kannst Du (oder wer auch immer Lust dazu hat) mir noch einen Hinweis geben?
Es grüßt,
sandwich.
[edit: hat sich erledigt.]
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Hallo Sandwich!
Du hast nach der 3.binomischen Formel falsch umgeformt gemäß  Potenzgesetz [mm] $\left(a^m\right)^n [/mm] \ = \ [mm] a^{m*n}$ [/mm] :
[mm] $$\left(x^{2^{n+1}}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] x^{\red{2 \ * \ }2^{n+1}} [/mm] \ = \ [mm] x^{2^{n+2}}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Do 08.11.2007 | | Autor: | sandwich |
Ah, okay.
Vielen Dank! :o)
Liebe Grüße,
sandwich.
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