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| Aufgabe |
Beweisen Sie (per Induktion) die folgende Aussage: Sei in einem K-Vektorraum V eine Basis [mm] (v_1, [/mm] ... [mm] v_m) [/mm] und eine linear unabhängige Familie [mm] (w_1, ...w_n) [/mm] gegeben. Dann ist n [mm] \le [/mm] m und es gibt Indizes [mm] i_1, [/mm] ... [mm] i_{m-n}, [/mm] so dass [mm] (w_1,...w_n, v_{i_1},....v_{i_{m-n}}) [/mm] wieder eine Basis von V ist...
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Eigentlich verstehe ich die Vollständige Induktion.. aber ich weiß nicht, wie ich dass auf diese Aufgabe anwenden soll..
Bin neu hier... und wollte fragen ob mir vielleicht jemand helfen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 So 22.11.2009 | | Autor: | DaMenge |
Hi und Willkommen!,
also am besten ich formuliere die Aufgabe mal ein wenig anders, dann wird es wahrscheinlich recht schnell klar, was gemeint ist:
Also m sei beliebig und du hast jetzt eine linear unabhängige Menge von Vektoren $ [mm] (w_1, ...w_n) [/mm] $. Zu zeigen ist der Basisergänzungssatz, also dass $ [mm] (w_1,...w_n, v_{i_1},....v_{i_{m-n}}) [/mm] $ auch eine (linear unabhängige) Basis ist. Dazu sollst du hier anscheinend vollständige Induktion nach n benutzen.
Also erstmal natürlich Induktions-Anfang (wenn du nur einen Vektor [mm] $w_1$ [/mm] hast). Danach kannst du die Aussage im Induktionsschritt für alle $i=1..n$ benutzen, um die Aussage für $(n+1)$ zu zeigen.
Im Klartext heißt das: Wenn du weißt, dass $ [mm] (w_1,...w_n, v_{i_1},....v_{i_{m-n}}) [/mm] $ eine Basis ist und du nun $ [mm] (w_1, ...w_n, w_{n+1} [/mm] ) $ betrachtest, dann sollst du zeigen, dass man auch geeignet Indezies wählen kann, sodass $ [mm] (w_1,...w_n, w_{n+1}, v_{i_1},....v_{i_{m-n-1}}) [/mm] $ eine Basis ist.
Tip dazu:
1) Wie sieht die Darstellung von [mm] $w_{n+1}$ [/mm] bzgl der Basis $ [mm] (w_1,...w_n, v_{i_1},....v_{i_{m-n}}) [/mm] $ aus?
2) Du hast die Aussage schon für $m'=m-n$ und $n'=1$ bewiesen...
Hoffe, dies hilft dir weiter.
Viele Grüße,
DaMenge
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irgendwie verstehe ich trotzdem nicht so ganz wo ich anfangen soll..
vielleicht kann mir doch noch jemand etwas mehr helfen... wahrscheinlich hab ich grad auch n Brett vorm Kopf..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Mi 25.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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