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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktion der Ungleichungen
Induktion der Ungleichungen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Induktion der Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Mi 21.11.2007
Autor: U-Gen

Aufgabe
Sei y eine reelle Zahl mit 0 < y < 1. Beweisen Sie durch Induktion über n die folgenden Ungleichungen:

(1) (1 - [mm] y)^{n} \leq \frac{1}{1 + ny} [/mm]

(2) [mm] \sum_{k=-n}^n~y^k \geq [/mm] 2n +1

Ich find hier nichtmal einen Anfgang !

Ist der IA bei 0,1 oder wo fängt der an ?!

Freu mich über jede Hilfe

MFG

        
Bezug
Induktion der Ungleichungen: beides ist möglich
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Mi 21.11.2007
Autor: Roadrunner

Hallo U-Gen!


Das ist hier wohl egal, ob Du den Induktionsanfang mit $n \ = \ 0$ oder $n \ = \ 1$ durchführst.

Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Induktion der Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Mi 21.11.2007
Autor: U-Gen

(1 - $ [mm] y)^{n} \leq \frac{1}{1 + ny} [/mm] $

IA : n = 1

(1 - [mm] y)^{0} \leq \frac{1}{1 + 0*y} [/mm]

1 [mm] \leq [/mm] 1


IS : n - > n + 1

(1 - [mm] y)^{n+1} \leq \frac{1}{1 + (n + 1)*y} [/mm]

(1 - [mm] y)^{n} [/mm] * (1 - y) [mm] \leq \frac{1}{1 + ny + y} [/mm]

(1 - [mm] y)^{n} [/mm] * (1 - y) [mm] \leq \frac{1}{1 + ny} [/mm] * (1 - y) [mm] \leq \frac{1}{1 + ny + y} [/mm]  

wie mach ich denn jetzt weiter ?!

hab die n mit den y verwechselt deshalb dachte ich dass das n=0.1 is ... sry

Bezug
                        
Bezug
Induktion der Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:33 Do 22.11.2007
Autor: angela.h.b.


> (1 - [mm]y)^{n} \leq \frac{1}{1 + ny}[/mm]
>
> IA : n = 1
>  
> (1 - [mm]y)^{0} \leq \frac{1}{1 + 0*y}[/mm]
>
> 1 [mm]\leq[/mm] 1
>  
>
> IS : n - > n + 1
>  
> (1 - [mm]y)^{n+1} \leq \frac{1}{1 + (n + 1)*y}[/mm]

Hallo,

das ist das, was im Induktionsschluß zu zeigen ist.

Fürs weitere Vorgehen:

Beginne nun  mit (1 [mm] -y)^{n+1} [/mm]  und erstelle eine Ungleichungskette, an deren Ende (!!!) dann [mm] \frac{1}{1 + (n + 1)*y} [/mm]
steht.

Also:

(1 [mm] -y)^{n+1} [/mm] =(1 - $ [mm] y)^{n} [/mm] $ * (1 - y) $ [mm] \leq \frac{1}{1 + ny} [/mm] $ * (1 - y)   (nach Ind.vor) =...

Nun mußt Du weiter abschätzen. Ich habe auf meiner Schmierzettelrechnung mal mit  [mm] \frac{1}{1 + (n + 1)*y} [/mm] erweitert, das hat mich weitergebracht.

Gruß v. Angela

Bezug
        
Bezug
Induktion der Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Do 22.11.2007
Autor: MaRaQ

Aufgabe
(2) [mm] \summe_{k=-n}^{n} y^k \ge [/mm] 2n + 1

Wie geht man denn hier vor? Die geometrische Reihe springt einem zwar direkt ins Auge, aber das hilft einem ja bei der Induktion nicht weiter.

n=0: 1 [mm] \ge [/mm] 1 [mm] \checkmark [/mm]

n=1: [mm] \bruch{1}{y} [/mm] + 1 + y [mm] (.?.)\ge(.?.) [/mm] 3

Hier habe ich schon ein Problem, diese Ungleichung zu zeigen. Der Kniff liegt ja in [mm] \bruch{1}{y}+y \ge [/mm] 2
Nur, wie zeigt man das?

Vom Induktionsschritt will ich hier noch gar nicht sprechen...

Ich danke im Voraus :)

P.S.: Mir ist grade aufgefallen, dass ich mit dieser Ungleichung auch relativ einfach den Induktionsschritt fertig bekomme:

n [mm] \to [/mm] n+1:

[mm] \summe_{-(n+1^)}^{n+1} y^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{y^{n+1}} [/mm] + [mm] y^{k+1} [/mm] + [mm] \summe_{k=-n}^n y^k \ge \bruch{1}{y^{n+1}} [/mm] + [mm] y^{k+1} [/mm] + 2n + 1 [mm] *\ge* [/mm] 2n + 3 = 2(n+1)+1

Bezug
                
Bezug
Induktion der Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Do 22.11.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> (2) [mm]\summe_{k=-n}^{n} y^k \ge[/mm] 2n + 1
>  Wie geht man denn hier vor? Die geometrische Reihe springt
> einem zwar direkt ins Auge, aber das hilft einem ja bei der
> Induktion nicht weiter.
>  
> n=0: 1 [mm]\ge[/mm] 1 [mm]\checkmark[/mm]
>  
> n=1: [mm]\bruch{1}{y}[/mm] + 1 + y [mm](.?.)\ge(.?.)[/mm] 3
>  
> Hier habe ich schon ein Problem, diese Ungleichung zu
> zeigen. Der Kniff liegt ja in [mm]\bruch{1}{y}+y \ge[/mm] 2
>  Nur, wie zeigt man das?

Zieh mal auf beiden Seiten die 2 ab und nimm mit y mal. Das darfst du, da [mm]0

> P.S.: Mir ist grade aufgefallen, dass ich mit dieser
> Ungleichung auch relativ einfach den Induktionsschritt
> fertig bekomme:
>
> n [mm]\to[/mm] n+1:
>
> [mm]\summe_{-(n+1^)}^{n+1} y^k[/mm] = [mm]\bruch{1}{y^{n+1}} + y^{k+1} + \summe_{k=-n}^n y^k \ge \bruch{1}{y^{n+1}}+y^{k+1} + 2n + 1 *\ge* 2n + 3 = 2(n+1)+1 [/mm]

Ja, bis auf die Tatsache, dass du [mm]y^{k+1}[/mm] statt [mm]y^{n+1}[/mm] geschrieben hast.

Viele Grüße
   Rainer

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