Induktion über Termaufbau < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Fr 16.05.2014 | | Autor: | Pia90 |
| Aufgabe | Seien [mm] \mathfrak{A}, \mathfrak{B} \tau [/mm] -Strukturen über dem Universum A bzw. B, sodass [mm] \mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{B}. [/mm] Zeigen Sie per Induktion über den Termaufbau: Für jeden Term t und jede Belegung [mm] \beta [/mm] : var(t) [mm] \mapsto [/mm] A gilt
[mm] [\![ [/mm] t [mm] ]\!]{(\mathfrak{A},\beta)} [/mm] = [mm] [\![ [/mm] t [mm] ]\!]{(\mathfrak{B},\beta)}. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich muss die oben angegebene Aufgabe lösen, aber komme dabei nicht wirklich vorwärts, da ich noch gar nicht so wirklich verstehe, was ich habe bzw. tun muss...
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir weiterhelfen würdet!
Als Ansätze habe ich versucht mir folgendes zusammenzureimen, weiß aber natürlich nicht, ob das überhaupt richtig so ist...
z.z.: Für jeden Term t und jede Belegung [mm] \beta [/mm] : var(t) [mm] \mapsto [/mm] A gilt
[mm] [\![ [/mm] t [mm] ]\!]{(\mathfrak{A},\beta)} [/mm] = [mm] [\![ [/mm] t [mm] ]\!]{(\mathfrak{B},\beta)}
[/mm]
IA: Für t=f [mm] \in \tau [/mm] gilt: [mm] [\![ [/mm] f [mm] ]\!]{(\mathfrak{A},\beta)} [/mm] = [mm] [\![ [/mm] f [mm] ]\!]{(\mathfrak{B},\beta)} [/mm] , da [mm] f^{\mathfrak{A}} [/mm] = [mm] f^{\mathfrak{B}} \wedge [/mm] A
IS: Für [mm] t=ft_1, [/mm] ..., [mm] t_n
[/mm]
[mm] [\![ ft_1, [/mm] ..., [mm] t_n ]\!]{\mathfrak{A}} [/mm] = [mm] f^{\mathfrak{A}} ([\![ t_1 ]\!]{\mathfrak{A}}, ...[\![ t_n ]\!]{\mathfrak{A}}) [/mm] = (mit IV) [mm] f^{\mathfrak{A}} ([\![ t_1 ]\!]{\mathfrak{B}}, ...[\![ t_n ]\!]{\mathfrak{B}}) [/mm] = [mm] f^{\mathfrak{B}} ([\![ t_1 ]\!]{\mathfrak{B}}, ...[\![ t_n ]\!]{\mathfrak{B}})= [\![ ft_1, [/mm] ..., [mm] t_n ]\!]{\mathfrak{B}}
[/mm]
Vielen Dank schonmal im Voraus!
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Fr 16.05.2014 | | Autor: | hippias |
Der Beweis sieht ganz gut aus, aber insbesondere der Induktionsanfang ist mir zu schwammig. Auch sind mir ein paar Schreibweisen nicht ganz klar.
Induktionsanfang: Du musst zeigen, dass [mm] $[[c]](\mathfrak{A},\beta)= [[c]](\mathfrak{B},\beta)$ [/mm] fuer jedes Konstantensymbol aus [mm] $\tau$ [/mm] und [mm] $[[v]](\mathfrak{A},\beta)= [[v]](\mathfrak{B},\beta)$ [/mm] fuer jedes Variablensymbol gilt. Warum ist das so, welche Voraussetzungen gehen ein?
Dein Induktionsschritt scheint mir richtig zu sein. Aber nur zu Sicherheit: Wieso werden die Funktionssymbole in [mm] $(\mathfrak{A},\beta)$ [/mm] und [mm] $(\mathfrak{B},\beta)$ [/mm] gleich interpretiert?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Fr 16.05.2014 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank schonmal für die schnelle Rückmeldung!
> Der Beweis sieht ganz gut aus, aber insbesondere der
> Induktionsanfang ist mir zu schwammig. Auch sind mir ein
> paar Schreibweisen nicht ganz klar.
>
> Induktionsanfang: Du musst zeigen, dass
> [mm][[c]](\mathfrak{A},\beta)= [[c]](\mathfrak{B},\beta)[/mm] fuer
> jedes Konstantensymbol aus [mm]\tau[/mm] und
> [mm][[v]](\mathfrak{A},\beta)= [[v]](\mathfrak{B},\beta)[/mm] fuer
> jedes Variablensymbol gilt. Warum ist das so, welche
> Voraussetzungen gehen ein?
Ich hab noch nicht den 100%igen Durchblick, aber ich versuchs mal!
Laut Voraussetzung ist ja [mm] \mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{B} [/mm] und [mm] \mathfrak{A}, \mathfrak{B} [/mm] sind [mm] \tau-Strukturen [/mm] . Also ist [mm] f^{\mathfrak{A}} [/mm] das A-Redukt von [mm] f^{\mathfrak{B}}, [/mm] oder?
Ich finds schwer das ganze irgendwie treffend zu formulieren und weiß nicht so ganz, wie ich es etwas weniger schwammig formulieren könnte... Hast du einen Vorschlag, wie ich es besser machen könnte?
>
> Dein Induktionsschritt scheint mir richtig zu sein. Aber
> nur zu Sicherheit: Wieso werden die Funktionssymbole in
> [mm](\mathfrak{A},\beta)[/mm] und [mm](\mathfrak{B},\beta)[/mm] gleich
> interpretiert?
>
Dies kommt doch auch zustande, weil [mm] \mathfrak{B} [/mm] eine [mm] \tau-Expansion [/mm] von [mm] \mathfrak{A} [/mm] ist, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Sa 17.05.2014 | | Autor: | hippias |
Alles in Ordnung, Du scheinst zu wissen was Du tust. Allenfalls den Induktionsanfang mit den $3$ Faellen koennte man etwas mehr erlaeutern.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Sa 17.05.2014 | | Autor: | Pia90 |
Vielen, vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Sa 17.05.2014 | | Autor: | Pia90 |
Noch eine weitere Frage zu dem Thema...
Und zwar soll nun [mm] \tau [/mm] eine Signatur sein und [mm] \mathfrac{B} [/mm] eine [mm] \tau [/mm] - Struktur über dem Universum B.
Ich soll nun beweisen, dass für jede quantorenfreie Formel [mm] \phi \in FO(\tau), [/mm] alle Substrukturen [mm] \mathfrak{A_1}=(A_1,\tau), \mathfrak{A_2}=(A_2,\tau) [/mm] von [mm] \mathfrak{B} [/mm] und alle [mm] a_1, ...a_k \in A_1 \cap A_2 [/mm] gilt:
[mm] \mathfrak{A_1} [/mm] |= [mm] \phi (a_1, [/mm] ..., [mm] a_k) [/mm] genau dann wenn [mm] \mathfrak{A_2} [/mm] |= [mm] \phi (a_1, [/mm] ..., [mm] a_k)
[/mm]
Wie genau kann ich das nun zeigen?
Ich kann sicherlich zum Teil wieder über ein Redukt argumentieren, weil es ist ja bekannt, dass [mm] \mathfrak{A_1} [/mm] und [mm] \mathfrak{A_2} [/mm] Aubstrukturen von [mm] \mathfrak{B} [/mm] sind.
Aber nun habe ich ja [mm] a_1, [/mm] ..., [mm] a_k [/mm] aus dem Schnitt von [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] ...
Hat jemand eine Idee, wie ich vorgehen könnte?
Ich hoffe, es kann mir jemand weiterhelfen! Danke schonmal!
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 So 18.05.2014 | | Autor: | hippias |
Das kannst Du wieder per Induktion ueber den Aufbau der Formel beweisen. Dazu zeigst Du zuerste, dass alle Terme von beiden Strukturen gleich interpretiert werden; dies duerfte aus der vorherigen Aufgabe folgen. Sodann zeigst Du als Induktionsanfang die Behauptung fuer alle atomaren Formeln. Der Induktionsschritt besteht dann darin die Behauptung fuer Negationen, Konjunktionen etc. nachzuweisen. Versuch es, macht Spass!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 So 18.05.2014 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank schonmal! Irgendwie stehe ich aber gerade leider ein wenig auf dem Schlauch...
> Das kannst Du wieder per Induktion ueber den Aufbau der
> Formel beweisen. Dazu zeigst Du zuerste, dass alle Terme
> von beiden Strukturen gleich interpretiert werden; dies
> duerfte aus der vorherigen Aufgabe folgen.
Ok, da kann ich also direkt auf die andere Aufgabe Bezug nehmen.
> Sodann zeigst Du
> als Induktionsanfang die Behauptung fuer alle atomaren
> Formeln. Der Induktionsschritt besteht dann darin die
> Behauptung fuer Negationen, Konjunktionen etc.
> nachzuweisen. Versuch es, macht Spass!
Von der Idee her klingt das für mich logisch, aber ich habe gerade Probleme, dass irgendwie aufs Papier zu bringen...
Bereits beim Induktionsanfang scheiter ich gerade schon und weiß absolut nicht wie ich es aufschreiben könnte... :/
Beim Induktionsschritt könnte ich doch dann sagen, dass für Boolesche Operatoren die Behauptung aus der IV folgt, denn sei z.B. [mm] \nu(a) [/mm] = [mm] \neg \phi(a) [/mm] und die Aussage gelte für [mm] \phi(a)
[/mm]
[mm] \mathfrak{A_1} [/mm] |= [mm] \nu(a) [/mm] genau dann wenn [mm] \mathfrak{A_1} |\not= \phi(a) [/mm] genau dann wenn [mm] \mathfrak{A_2} |\not= \phi(a) [/mm] genau dann wenn [mm] \mathfrak{A_2} [/mm] |= [mm] \nu(a) [/mm]
Oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 So 18.05.2014 | | Autor: | hippias |
Fuer den Induktionsanfang: Sei z.B. $R$ ein $n$-stelliges Relationssymbol und [mm] $t_{i}$ [/mm] Terme. Dann ist [mm] $\mathfrak{A}_{i}\models Rt_{1}\ldots t_{n}\iff (t_{1}^{\mathfrak{A}_{i}},\ldots, t_{n}^{\mathfrak{A}_{i}})\in R^{\mathfrak{A}_{i}}$. [/mm]
Weil [mm] $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}$ [/mm] Unterstrukturen von [mm] $\mathfrak{B}$ [/mm] sind, ist [mm] $R^{\mathfrak{A}_{i}}= A_{i}^{n}\cap R^{\mathfrak{B}}$. [/mm] Ferner ist bereits bekannt, dass [mm] $t_{i}^{\mathfrak{A}_{1}}= t_{i}^{\mathfrak{A}_{2}}=:x_{i}$, $i=1,\ldots, [/mm] n$. Insbesondere sind diese [mm] $x_{i}\in A_{1}\cap A_{2}$, [/mm] wegen der Abgeschlossenheit der Strukturen.
Damit ist aber [mm] $(x_{1},\ldots,x_{n})\in A_{i}^{n}\cap R^{\mathfrak{B}}\iff R^{\mathfrak{B}}$. [/mm]
Insgesamt folgt [mm] $\mathfrak{A}_{1}\models Rt_{1}\ldots t_{n}\iff (t_{1}^{\mathfrak{A}_{1}},\ldots, t_{n}^{\mathfrak{A}_{1}})\in R^{\mathfrak{A}_{1}}\iff (t_{1}^{\mathfrak{A}_{1}},\ldots, t_{n}^{\mathfrak{A}_{1}})\in R^{\mathfrak{B}}\iff (t_{1}^{\mathfrak{A}_{2}},\ldots, t_{n}^{\mathfrak{A}_{2}})\in R^{\mathfrak{B}}\iff (t_{1}^{\mathfrak{A}_{2}},\ldots, t_{n}^{\mathfrak{A}_{2}})\in R^{\mathfrak{A}_{2}}\iff \mathfrak{A}_{2}\models Rt_{1}\ldots t_{n}$.
[/mm]
Induktionsschritt: [mm] $\mathfrak{A}_{1}\models \neg \phi\iff$ [/mm] nicht [mm] $\mathfrak{A}_{1}\models \phi$. [/mm] Nach Ind.vor. ist [mm] $\mathfrak{A}_{1}\models \phi\iff \mathfrak{A}_{2}\models \phi$, [/mm] also [mm] $\ldots$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Di 27.05.2014 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank! Du hast mir sehr weitergeholfen!
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