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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Do 13.08.2009 | | Autor: | cracker |
| Aufgabe | Die n-te Ableitung [mm] f^n(x) [/mm] der Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{1+x} [/mm] ist gegeben durch
[mm] f^n(x)= (-1)^n [/mm] n! [mm] (1+x)^{-n-1}
[/mm]
zeigen sie diese aussage mittels vollständiger induktion! |
also der induktionanfang ist ja einfach mit der ersten ableitung und n=1 zu zeigen
aber ich komme beim induktionschluss nicht besonders weit, bis jetzt habe ich hier nur mit summenzeichen und reihen und so gearbeitet und hier weiß ich nicht so recht wie ich das machen soll
vielen dank für jede hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Do 13.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die n-te Ableitung [mm]f^n(x)[/mm] der Funktion [mm]f(x)=\bruch{1}{1+x}[/mm]
> ist gegeben durch
> [mm]f^n(x)= (-1)^n[/mm] n! [mm](1+x)^{-n-1}[/mm]
> zeigen sie diese aussage mittels vollständiger
> induktion!
> also der induktionanfang ist ja einfach mit der ersten
> ableitung und n=1 zu zeigen
> aber ich komme beim induktionschluss nicht besonders weit,
> bis jetzt habe ich hier nur mit summenzeichen und reihen
> und so gearbeitet und hier weiß ich nicht so recht wie ich
> das machen soll
Benutze im Induktionsschritt, dass [mm] $f^{(n+1)} [/mm] = [mm] (f^{(n)})'$ [/mm] ist. Und [mm] $f^{(n)}$ [/mm] liefert dir die Induktionsvoraussetzung.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Do 13.08.2009 | | Autor: | cracker |
und was setze ich bei [mm] (f^n)' [/mm] für [mm] f^n [/mm] ein? die induktionsvorrausetzung kann ich ja nicht nehmen?
danke!
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Hallo cracker,
> und was setze ich bei [mm](f^n)'[/mm] für [mm]f^n[/mm] ein? die
> induktionsvorrausetzung kann ich ja nicht nehmen?
Doch, doch.
Die Induktionsvoraussetzung ist ja: Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] beliebig, aber fest und gelte [mm] $\blue{f^{(n)}(x)=(-1)^n\cdot{}n!\cdot{}(1+x)^{-n-1}}$
[/mm]
Daraus musst du nun schließen, dass [mm] $f^{(n+1)}(x)=\left[\blue{f^{(n)}(x)}\right]'=(-1)^{n+1}\cdot{}(n+1)!\cdot{}(1+x)^{-n-2}$ [/mm] ist
Leite also mal [mm] $\blue{f^{(n)}(x)}$ [/mm] ab und schaue, ob das wohl passt ...
> danke!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Do 13.08.2009 | | Autor: | cracker |
ah, okay..
und jetzt noch ne dumme frage, wie leite ich n! ab?:)
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Hallo nochmal,
> ah, okay..
> und jetzt noch ne dumme frage, wie leite ich n! ab?:)
Das kannst du dir selber beantworten, du leitest nach der Variablen x ab, also ist $n!$ eine Konstante (multiplikativ), denke dir, dort stünde ne Zahl.
Wie leitet man [mm] $3\cdot{}(1+x)^{-n-1}$ [/mm] ab? ...
LG
schachuzipus
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