Induktionsaxiom < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Di 11.09.2007 | | Autor: | Maik314 |
Hallo,
ich habe ein Verständnisproblem, was das Induktionsaxiom betrifft. Alles soweit ok,aber warum existiert es überhaupt? es kann meiner Ansicht nach als Satz aus den ersten vier Axiomen bewiesen werden.
Da für alle natürlichen Zahlen genau ein Nachfolger existiert und jede Zahl außer 0 selbst Nachfolger genau einer Zahl ist, zeigt der Beweis von [mm] E(n)\rightarrow [/mm] E(n+1), sowie E(a), dass E(m) für alle [mm] m\in \IN^{\ge a} [/mm] auch ohne das Axiom... Wieso also nicht?
danke schonmal im Vorraus.^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Di 11.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie viel Axiome über uns selbverständliche Objekte, scheint es erstmal unnötig.
Aber, dass es zu jedm n nen Nachfolger gibt, heisst ja nicht dass man damit ALLE natürlichen Zahlen kriegt.
und das macht das sog. Induktionsaxiom:
Enthält eine Menge X die Zahl 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger n', so enthält X bereits alle natürlichen Zahlen. (Ist X dabei selbst eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, dann ist X gleich der Menge der natürlichen Zahlen.)
Da du dir "andere" nat. Zahlen als die du kennst ja nicht vorstellen kannst, ist das Axiom für dich selbverständlich, aber nicht beweisbar aus den anderen.
Gruss leduart
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> Hallo,
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> ich habe ein Verständnisproblem, was das Induktionsaxiom
> betrifft. Alles soweit ok,aber warum existiert es
> überhaupt? es kann meiner Ansicht nach als Satz aus den
> ersten vier Axiomen bewiesen werden.
> Da für alle natürlichen Zahlen genau ein Nachfolger
> existiert und jede Zahl außer 0 selbst Nachfolger genau
> einer Zahl ist, zeigt der Beweis von [mm]E(n)\rightarrow[/mm]
> E(n+1), sowie E(a), dass E(m) für alle [mm]m\in \IN^{\ge a}[/mm]
> auch ohne das Axiom... Wieso also nicht?
Dies scheint mir durchaus eine interessante Frage zu sein. Wenn Mathematiker eine Theorie der natürlichen Zahlen rein axiomatisch einführen wollen, dann versuchen sie eine gewisse Zahl von Sätzen (sogenannte "Axiome") an den Anfang zu stellen, aus denen sie dann alles, was für natürliche Zahlen gilt, "rein logisch" deduzieren möchten (wir wissen allerdings inzwischen, dass dies streng genommen gar nicht möglich ist: Gödelscher Unvollständigkeitsatz, 1931).
Dein Überlegung, mit der Du das Induktionsaxiom als überflüssig nachweisen möchtest, ist eben leider keine "rein logische" Schlussweise. Kommt dazu, dass Du den Begriff der natürlichen Zahl offenbar auf "konstruktive Weise" aufzufassen scheinst: als das, was man bei 0 beginnend mittels endlich vieler Anwendungen der Nachfolgeroperation erhalten kann.
Rein logisch ist es ohne das Induktionsaxiom eben nicht zwingend, dass aus den anderen Axiomen schon folgt, dass es keine "natürlichen Zahlen" gibt, die man auf diese Weise nicht mittels endlich vieler Anwendungen der Nachfolgeroperation von 0 aus erreichen kann.
Aber man könnte die natürlichen Zahlen durchaus kurzerhand als diejenigen Objekte "definieren", die man ausgehend von 0 in endlich vielen Schritten erreichen kann -- und manche (Konstruktivisten) gehen auch genau so vor. Bei einem solchen konstruktiven Ansatz, wird das Induktions"axiom" auch ein beweisbarer Satz (allerdings nicht "rein logisch" aus irgendwelchen Axiomen deduzierbar: dennoch aber in seiner Gültigkeit beweisbar).
So ist zum Beispiel der Ansatz von Paul Lorenzen (siehe: Grundlehren, Band 78, "Einführung in die operative Logik und Mathematik") ein solcher Weg, bei dem im wesentlichen Deine Überlegung als Beweis der "Eliminierbarkeit" des Induktionsaxioms verwendet wird.
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