Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:54 Di 06.11.2007 | | Autor: | superstar |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für je n nichtnegative, reelle Zahlen [mm] x_1,...,x_n [/mm] gilt:
[mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] (1+ [mm] x_k) \ge [/mm] 1+ [mm] \summe_{k=1}^{n} x_k.
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass obige Ungleichung auch gilt, falls -1 [mm] \le x_k \le [/mm] 0 für alle k ist. |
Hallo,
also ich habe wirklich keine Ahnung, wie ich hier anfangen soll. kann mir jemand einen Tipp geben? Wäre wirklich nett. Vielen Dank
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Hallo superstar,
zu (a):
mach ne ganz normale Induktion:
Induktionsanfang: $n=1$
zeige, dass gilt: [mm] $\prod\limits_{k=1}^1(1+x_k)\ge 1+\sum\limits_{k=1}^1x_k$
[/mm]
Im Induktionsschritt: [mm] $n\to [/mm] n+1$
zeige, dass unter der Induktionsvoraussetzung: Gelte [mm] $\prod\limits_{k=1}^n(1+x_k)\ge 1+\sum\limits_{k=1}^nx_k$ [/mm] für ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] auch gilt:
[mm] $\prod\limits_{k=1}^{n+1}(1+x_k)\ge 1+\sum\limits_{k=1}^{n+1}x_k$
[/mm]
Dazu nimm dir dir linke Seite her und forme die mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung um, bis die rechte Seite dasteht:
Ich mache mal nen Anfang:
[mm] $\prod\limits_{k=1}^{n+1}(1+x_k)=\left(\prod\limits_{k=1}^{n}(1+x_k)\right)\cdot{}(1+x_{n+1})\ge \left(1+\sum\limits_{k=1}^{n}x_k\right)\cdot{}(1+x_{n+1})$
[/mm]
nach Induktionsvoraussetzung
Das multipliziere mal aus und schaue, wie du das, was da entsteht, weiter vereinfachen und abschätzen kannst... es ist nicht mehr viel zu tun 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Di 06.11.2007 | | Autor: | U-Gen |
$ [mm] \prod\limits_{k=1}^{n+1}(1+x_k)=\left(\prod\limits_{k=1}^{n}(1+x_k)\right)\cdot{}(1+x_{n+1})\ge \left(1+\sum\limits_{k=1}^{n}x_k\right)\cdot{}(1+x_{n+1}) \ge 1+\sum\limits_{k=1}^{n}x_k [/mm] + [mm] x_{n+1} +\sum\limits_{k=1}^{n}(x_k*x_{n+1}) [/mm] $
wüsste jedoch auch net wie ich weiter machen sollte ...
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Hallo U-Gen,
du musst mit der Klammerung aufpassen:
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> [mm]\prod\limits_{k=1}^{n+1}(1+x_k)=\left(\prod\limits_{k=1}^{n}(1+x_k)\right)\cdot{}(1+x_{n+1})\ge \left(1+\sum\limits_{k=1}^{n}x_k\right)\cdot{}(1+x_{n+1}) \ge \blue{1}+\sum\limits_{k=1}^{n}x_k + x_{n+1} +\red{\left(}\sum\limits_{k=1}^{n}x_k\red{\right)}*x_{n+1} [/mm]
>
>
> wüsste jedoch auch net wie ich weiter machen sollte ...
Den letzten Term kannst du zusammenfassen zu [mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}x_k$
[/mm]
Dann nimm noch die [mm] \blue{1} [/mm] dazu, also
[mm] $\left[1+\sum\limits_{k=1}^{n+1}x_k\right]$ [/mm] + den Rest
Aufgrund der Aufgabenstellung weißt du, dass die [mm] $x_k$ [/mm] sämtlich nicht-negativ sind, also auch [mm] x_{n+1} [/mm] und die verbleibende Summe.
Also ist der ganze Rest da im obigen Term [mm] \ge [/mm] 0
Damit kannst du das abschätzen als [mm] $\ge 1+\sum\limits_{k=1}^{n+1}x_k$
[/mm]
Und genau das wolltest du zeigen...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Di 06.11.2007 | | Autor: | U-Gen |
Die Umformung ist mir klar, die abschätzung mit [mm] \ge [/mm] 0 ist mir auch klar.
Jedoch versteh ich die letzte Abschätzung noch nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn gilt a>b+c und c>0 dann gilt erst recht a>b weil du die rechte seite ja noch kleiner machst. 6>4+1 erst recht 6>4
Gruss leduart.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:33 Mi 07.11.2007 | | Autor: | U-Gen |
ahhh, klar ... jetzt seh ich das auch !!!
Wie mach ich denn da bei der b) weiter ?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 09.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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