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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktionsbeweis
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Induktionsbeweis: Aufgabenprobleme
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:29 Sa 08.01.2005
Autor: NachoNovo

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo

Also, ich hab da Probleme mit dem Induktionsbeweis. Ich muss folgende Aufgaben lösen.... ich hoffe ihr könnt mir helfen

1.
Beweisen sie mittels Induktion: [mm] "9^n [/mm] -1 ist durch 8 teilbar (ohne Rest)  [mm] \forall [/mm] n  [mm] \in \IN" [/mm]

2. Beweisen sie mittels Induktion: [mm] $2*1!+5*2!+10*3!+...+(n^2+1)*n!=n*(n+1)!$ [/mm]

3. Beweisen sie mittels Induktion: 2n +1 [mm] <=2^n [/mm] für n= 3,4,5...

4.  Behauptung: n Geraden schneiden sich höchstens in  [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] Punkten

So das wärs... Vielen Dank schon im Voraus mfg tommy

        
Bezug
Induktionsbeweis: Aufgabe 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 Sa 08.01.2005
Autor: mando

Also: Bei Induktion musst du zunächst die Gleichung für deinen Startwert überprüfen(Induktionsanfang). Bei Aufgabe 1 wäre das: Für n=1 ist [mm] 9^{n} [/mm] - 1 = 8 und 8 teilt 8.
Dann nimmst du an, dass deine Gleichung für n = k erfüllt ist und schließt daraus dass sie dann auch für n = k+1 gelten muss. (Induktionsschluss)
Aufgabe 1:
Induktionsvorraussetzung: [mm] 9^{k}-1 [/mm] teilt 8
[mm] 9^{k+1}-1 [/mm] = [mm] 9\*9^{k}-1 [/mm] = [mm] (8+1)\*9^{k}-1 [/mm] = [mm] 8\*9^{k}+9^{k}-1 [/mm]

[mm] 8\*9^{k} [/mm] teilt 8 und [mm] 9^{k}-1 [/mm] teilt 8 nach Induktionsvorrausetzung.
Beweis beendet.
Die anderen Aufgaben gehen ähnlich, wenn dus trotzdem nicht hinkriegst meld dich nochmal.
Mfg Mando



Bezug
                
Bezug
Induktionsbeweis: Dankeschön
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:33 So 09.01.2005
Autor: NachoNovo

hallo mando

Vielen Dank für die Erklärung, jetzt komme ich langsam drauf wies funktioniert. Danke

mfg Tommy

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Induktionsbeweis: Aufgabe 3
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:11 Sa 08.01.2005
Autor: Loddar

Hallo NachoNovo,

zunächst einmal [willkommenmr] !!

In dieser Frage ist eine sehr ähnliche Frage bereits beantwortet worden.

Der Unterschied zu Deiner Aufgabe ist sehr gering, so daß Du diese nun bestimmt hinkriegst ...


Loddar



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Bezug
Induktionsbeweis: Dankeschön
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:39 So 09.01.2005
Autor: NachoNovo

hi loddar

also ich hab mir das angeschaut und es hat geklappt, ist wirklich sehr ähnlich. Danke

mfg tommy

Bezug
        
Bezug
Induktionsbeweis: Aufgabe 2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:42 Sa 08.01.2005
Autor: taura

Also, du sollst beweisen (umformuliert):

[mm] \summe_{i=1}^{n} (i^2+1)*i!=n*(n+1)![/mm]

Der Start wirst du selbst schaffen, einfach n=1 setzen.

Für den Schritt [mm]n \to n+1[/mm] ist zu zeigen:
[mm]\summe_{i=1}^{n+1} (i^2+1)*i!=(n+1)*(n+2)![/mm]
Es gilt:
[mm]\summe_{i=1}^{n+1} (i^2+1)*i![/mm]
[mm]=((n+1)^2+1)*(n+1)!+ \summe_{i=1}^{n} (i^2+1)*i![/mm]
[mm]^{I.V.}=n*(n+1)!+((n+1)^2+1)*(n+1)![/mm]
[mm]=(n+1)!*(n+(n+1)^2+1)[/mm]
[mm]=(n+1)!*((n+1)+(n+1)(n+1))[/mm]
[mm]=(n+1)!*((n+1)*(1+n+1))[/mm]
[mm]=(n+1)!*(n+1)*(n+2)[/mm]
[mm]=(n+1)*(n+2)![/mm]
Also gilt die Aussage für n+1, also auch für alle n.
[mm] \Box [/mm]

Bezug
                
Bezug
Induktionsbeweis: Dankeschön
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:37 So 09.01.2005
Autor: NachoNovo

hi taura

also es hat geklappt, vielen herzlichen Dank

mfg tommy

Bezug
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