Induktionsbeweis: Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Sa 08.11.2008 | | Autor: | L5er |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit Induktion nach n: für alle n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] 2^{n}>n. [/mm] |
Hallo liebe Forengemeinde,
bei obiger Aufgabe habe ich Probleme beim Induktionsschritt.
Hier mein bisheriges Vorgehen:
Induktionsanfang: n=1
[mm] 2^{1}>1
[/mm]
2>1
Induktionsvorschrift:
[mm] 2^{n}>n [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
Induktionsschritt: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] 2^{n+1}>n+1
[/mm]
Ich hoffe, bis hierhin ist alles richtig. Doch wie kann ich jetzt weiter vorgehen?
Viele Grüße und danke für Eure Hilfe!
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Sagt dir die Bernoulli'sche Ungleichung etwas ?
[mm] (1+x)^n \ge 1+nx [/mm] gilt für [mm] x \ge -1 [/mm] und [mm] n \ge 0 [/mm] ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Sa 08.11.2008 | | Autor: | L5er |
Hallo Azarazul, danke für Deine Antwort!
Die Bernoulli'sche Ungleichung kannte ich bisher noch nicht, die ist mir leider völlig neu. Es fällt mir recht schwer, zu sehen, in wie fern sie mir bei diesem Beweis von Nutzen sein kann.
Muss ich denn auf den Beweis der Bernoulli'schen Ungleichung zurückgreifen, um [mm] 2^{n}>n [/mm] zu beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich denke, dass der Bewei nicht schwierig ist.
Behauptung:
IV: [mm] $2^n>n\quad\forall\,n\in\IN$
[/mm]
Beweis der Behauptung (über Induktion)
IA: $n=1$
[mm] $2=2^1>1$
[/mm]
IS: [mm] $n\longrightarrow [/mm] n+1$
[mm] $2^{n+1}$
[/mm]
[mm] $=2\cdot 2^n$
[/mm]
[mm] $>2\cdot [/mm] n$ (Induktionsvoraussetzung)
[mm] $\geqslant [/mm] n+1$ (Zwischenbehauptung)
Wir zeigen als nächstes die Zwischenbehauptung:
Zwischenbehauptung
IV: [mm] $2n\geqslant n+1\quad\forall\,n\in\IN$
[/mm]
Beweis der Zwischenbehauptung (durch Induktion)
IA: $n=1$
[mm] $2=2\cdot 1\geqslant [/mm] 1+1=2$
IS: [mm] $n\longrightarrow [/mm] n+1$
$2(n+1)$
$=2n+2$
[mm] $\geqslant [/mm] (n+1)+2$ (Induktionsvoraussetzung)
$=n+3$
$>n+2$
$=(n+1)+1$
Gruß Denny
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Hi,
wenn du sie nicht kennst, ist die unten gegebene antwort die richtige für dich. Ansonsten setze einfach mal in die bernoulli ungleichung x=1 !
dann steht da:
[mm] 2^{n+1} \ge 1+n [/mm] hättet ihr die ungleichung in der vorlesung schonmal bewiesen gehabt (wird eigentlich denke ich, überall immer gemacht) wärest du fertig gewesen ...
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