Induktionsbeweis einer Summe < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 So 10.11.2013 | | Autor: | jonescom |
Hallo,
das prinzip der Induktion habe ich (hoffentlich) schon verstanden, bei dieser Aufgabe komme ich aber bei dem Beweis im Induktionsschritt nicht weiter.
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1/(k*(k+1)) = 1- 1/(n+1) für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] n\ge [/mm] 1
Das ist dann gleichzeitig die Induktionsvorraussetzung.
Daraus ergibt sich folgende Induktionsbehauptung:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] 1/(k*(k+1)) = 1- 1/(n+2)
Dann habe ich die Behauptung wie folgt ausgedrückt:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] 1/(k*(k+1)) = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1/(k*(k+1)) + 1/ ((n+1)*(n+2))
Der zweite Summant ergibt sich hierbei aus der Induktionsvorraussetzung mit k=n+1
Dann lässt sich der erste Summant ersetzen, indem man die Induktionsvorraussetzung einsetzt:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] 1/(k*(k+1)) = 1- 1/(n+1) + 1/ ((n+1)*(n+2))
zu beweisen ist nun also:
1- 1/(n+1) + 1/ ((n+1)*(n+2)) = 1- 1/(n+2)
Bin mir eigentlich sicher, dass ich bis hier her richtig vorgegangen bin, falls nicht, weiß ich nicht, wo der fehler sein soll..
Nun will ich die linke Seite so umformen, dass sie gleich der rechten ist, dazu habe ich die Nenner im ersten Summanten angeglichen, wonach es mir dann unmöglich scheint, weiter zu machen oder ich habe so eine große Denkblokade, dass mir das Wesentliche nicht ins Auge springt..
1- 1/(n+1) + 1/ ((n+1)*(n+2))
= 1- (n+2)/((n+1)*(n+2)) + 1/ ((n+1)*(n+2))
= 1 - (n+3)/ ((n+1)*(n+2))
= ??
Weiß nicht, wie ich von da auf 1- 1/(n+2) kommen sollte..
Ich hoffe, ich hab es nicht zu verwirrend aufgeschrieben und ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Danke im Vorraus
jonescom
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jonescom,
soweit wie du jetzt gegangen bist ist auf dem ersten Blick alles richtig.
Nun gehe ich davon aus, dass im letzten Schritt folgendes dasteht:
[mm] 1-\bruch{(n+3)}{(n+1)(n+2)}
[/mm]
Bei deiner Formatierung ist es schwer zu erkennen. Solltest du etwas anderes meinen gib bitte noch bescheid.
Für mich stellt sich nun die Frage warum du den ersten bruch und den zweiten bruch auf einen gemeinsamen HN gebracht hast aber die 1 vor dem ersten bruch einfach aus und vor lässt?!
Die 1 muss doch auch auf einen HN. Das Wäre doch dann:
[mm] \bruch{(n+1) \cdot (n+2) - (n+3)}{(n+1)(n+2)}
[/mm]
dann würde ich wie gewöhnlich sagen du rechnest die klammern aus und zerlegst dann die quadratische gleichung nach linearfaktoren. Danach sollte sich etwas wegkürzen. und schon hättest du dann das ergebnis.
Probier es mal aus und poste dann nochmal deinen lösungsvorschlag.
solltest du von der einen richtung nicht weiterkommen, dann fang von hinten an und rechne nach vorne. Also fange mit dem Ergebnis an.
Ich hoffe ich konnte helfen.
Grüße
Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 So 10.11.2013 | | Autor: | jonescom |
Hallo Ali,
danke für deine schnelle antwort.
so ganz verstehe ich das allerdings noch nicht. wenn ich die klammern ausrechne ergibt sich für den zähler:
(n+1)*(n+2) - (n+3) = [mm] n^2 [/mm] + 3n + 2 - [mm] (n^2 [/mm] - 4n + 3) = -n+5
da ist 1. keine linearfaktorzerlegung mehr nötig und 2. bin ich mir wegen der vorzeichen nicht sicher, wie man das kürzen darf?
tut mir leid, falls ich grade auf dem schlauch stehe.
grüße, jonescom
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Hallo jonescom, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Da ist Dir ein Fehler unterlaufen.
Und zur Formelformatierung: die klappt viel besser, wenn Du Deine ganzen Leerzeichen mal weglässt. Bei jedem Leerzeichen fragt sich der Parser, ob es danach wohl mit Text oder mit einer Formeldarstellung weitergeht und entscheidet sich standardmäßig erstmal für Text.
> so ganz verstehe ich das allerdings noch nicht. wenn ich
> die klammern ausrechne ergibt sich für den zähler:
>
> (n+1)*(n+2) - (n+3) = [mm]n^2[/mm] + 3n + 2 - [mm](n^2[/mm] - 4n + 3) = -n+5
Nein, wieso? Was Du ausgerechnet hast, ist $(n+1)(n+2)-(n-1)(n-3). Darum gings doch gar nicht.
> da ist 1. keine linearfaktorzerlegung mehr nötig
Beim richtigen Ergebnis aber schon.
> und 2.
> bin ich mir wegen der vorzeichen nicht sicher, wie man das
> kürzen darf?
Bei dem, was Du raus hast, darf man gar nichts kürzen.
> tut mir leid, falls ich grade auf dem schlauch stehe.
> grüße, jonescom
[mm] (n+1)(n+2)-(n+3)=n^2+3n+2-n-3=n^2+2n-1
[/mm]
Da hilft allerdings das Faktorisieren auch nicht weiter. Vielleicht rechnest Du einfach mal schrittweise vor, dann finden wir auch Deinen Fehler.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 So 10.11.2013 | | Autor: | jonescom |
Hallo reverend,
upps, da habe ich mir wohl eine Klammer dazugespenstert.
Für den ganzen Bruch ergibt sich also
[mm] n^2+2n-1
[/mm]
---------
[mm] n^2+3n+2 [/mm]
welches ja eigentlich = (n+1)/(n+2) sein soll.
Nun weiß ich wirklich nicht mehr, was daran noch verändert werden sollte, so dass man auf dieses Ergebnis kommt, da die linearfaktorzerlegung einen auch nicht vorranbringt und ich frage mich, ob es überhaupt lösbar ist..
langsam verzweifelnde grüße,
jonescom
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Also ich glaube mit den ganzen Klammern usw kommen wir hir alle drucheinander.
@ janescom: Dir fehlt das Grundwissen über die Rechengesetze von Brüchen. Solltest du dir unbedingt nochmal anschauen!
Desweiteren denke ich, dass du dir die Linearfaktorenzerlegung sowie die Lösungsformel für quadratische Gleichungen nochmal verinnerlichen solltest.
Nun zum Beweis:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(k(k+1))} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{(n+1)}
[/mm]
I.A. klar
I.V. siehe Aufgabenstellung
I.S. n [mm] \rightarrow [/mm] n+1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)((n+1)+1)} \stackrel{I.V.}= [/mm] 1- [mm] \bruch{1}{(n+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)(n+2)-(n+2)+1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}+2n+n+2-n-2+1}{(n+1)(n+2)}=\bruch{n^{2}+2n+1}{(n+1)(n+2)}=\bruch{(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)}=\bruch{(n+1)}{(n+2)}=\bruch{n+2-1}{(n+2)}=1-\bruch{1}{(n+2)}
[/mm]
q.e.d.
Bitte lern nochmals die grundrechenregeln!!! Punkt vor Strich, Klammer zuerst, Addieren von Brüchen, Subtrahieren von Brüchen, Dividieren von Bruchen, Multiplizieren von Brüchen, etc.
Linearfaktorenzerlegung, Lösungsformel für quadratische gleichungen!!!
Ich habe durch deine Fragestellungen gemerkt, dass du das Prinzip der Vollständigen Induktion schon verstanden hast. Aber mit Brüchen usw. garnicht arbeiten kannst!!!!
Ohne dem Grundwissen wirst du nicht weit kommen.
Ich hoffe ich habe dich zum nachdenken angeregt und deine Fragen beantwortet.
Grüße
Ali
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 So 10.11.2013 | | Autor: | jonescom |
Hallo Ali,
wenn du dir die Mitteilung anschaust, habe ich den Beweis nach einer Pause eben auch geschafft.
Manchmal verharke ich mich in Kleinigkeiten und sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.
Recht hast du trotzdem, ich habe komplexe Prinzipien im Kopf, träume allerdings bei den Grundlagen öfters und vergesse Kleinigkeiten, das muss ich unbedingt auf die Reihe kriegen.
Danke für deine Hilfe!
jonescom
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> Hallo,
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> das Prinzip der Induktion habe ich (hoffentlich) schon
> verstanden, bei dieser Aufgabe komme ich aber bei dem
> Beweis im Induktionsschritt nicht weiter.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] 1/(k*(k+1)) = 1- 1/(n+1) für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> mit [mm]n\ge[/mm] 1
>
> Das ist dann gleichzeitig die Induktionsvorraussetzung. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hallo jonescom,
dein letzter Satz zeigt leider, dass du das Beweisprinzip
doch noch nicht ganz verstanden hast !
Die Aussage:
(1) [mm] $\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{k*(k+1)}\ [/mm] =\ 1- [mm] \frac{1}{n+1}$ [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] n\ge [/mm] 1
ist die zu beweisende Aussage, welche
alle natürlichen Zahlen betrifft.
Der Beweis besteht dann darin, dass man in einem
ersten Schritt zeigt, dass diese Aussage für n=1, also
für die erste natürliche Zahl gilt:
A(1) : [mm] $\summe_{k=1}^{1}\frac{1}{k*(k+1)}\ [/mm] =\ 1- [mm] \frac{1}{1+1}$
[/mm]
Diese "Verankerung" kann man leicht durch einfaches
Nachrechnen bestätigen.
Im darauf folgenden "Induktionsschritt" muss dann
gezeigt werden, dass, wenn immer eine Zahl [mm] n\in\IN
[/mm]
vorliegt, für die die Aussage A(n) gilt (Induktions-
voraussetzung mit einem "r" ...  ) , auch für die
nachfolgende ganze Zahl n+1 die Aussage gilt, also A(n+1)
(Induktionsbehauptung).
Im vorliegenden Beispiel ist die Induktionsvoraussetzung
also:
(2) [mm] $\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{k*(k+1)}\ [/mm] =\ 1- [mm] \frac{1}{n+1}$
[/mm]
Falls du nun meinst, das sei dasselbe wie die obige
Aussage (1), dann irrst du dich leider gewaltig, denn
(2) bezieht sich jeweils nur auf einen einzigen Wert
von n , wogegen (1) eben aussagt, die Aussage A(n)
sei für alle [mm] n\in\IN [/mm] gültig.
Schau dir das Ganze vielleicht mal auch noch bei
Wikipedia nach: ![[]](/images/popup.gif) Vollständige Induktion
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 So 10.11.2013 | | Autor: | jonescom |
Hallo Al-Chwarizmi,
habe mir das nochmal angeguckt und du hast offensichtlich recht, da habe ich etwas durcheinander gebracht beim aufschreiben, danke für den Hinweis!
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 So 10.11.2013 | | Autor: | jonescom |
Hallo nochmal an alle,
nach einer Pause habe ich mir das nochmal angeguckt und da ist es mir wie Schuppen von den Augen gefallen.
Wenn man am Anfang des Induktionsschlusses die Sache ein bisschen umstellt, ist die Lösung fast offensichtlich.
Habe dann also 1-1/(n+1) umgestellt zu n/(n+1) und das gewünschte Ergebnis ebenfalls umgestellt von 1-1/(n+2) zu (n+1)/(n+2)
Dann rechnet sich ganz einfach:
n/(n+1) + 1/((n+1)/(n+2))
= (n*(n+2)+1)/((n+1)/(n+2))
= [mm] (n^2+2n+2)/((n+1)/(n+2)) [/mm] 1. binomische Formel rückwärts
= [mm] (n+1)^2/((n+1)/(n+2)) [/mm] dann einfach kürzen
= (n+1)/(n+2) q.e.d.
Danke an alle Helfer, manchmal verzweifelt man an den grundlegensten Kleinigkeiten, da ist es immer gut, Tipps zu kriegen!
Grüße,
jonescom
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> nach einer Pause habe ich mir das nochmal angeguckt und da
> ist es mir wie Schuppen von den Augen gefallen.
> .... da ist es immer gut, Tipps zu kriegen!
Hallo jonescom,
darf ich dir gerade noch einen Tipp auf den Weg geben:
nimm dir mal einige Zeit, um dich mit den Möglich-
keiten des hier verfügbaren Formeleditors ( <-- click !)
auseinanderzusetzen, damit du z.B. lernst, Brüche
(wie sie hier gerade aufgetreten sind), Doppelbrüche
und weitere mathematische Terme wie Potenzen,
Wurzeln, griechische Buchstaben etc.) gut lesbar
darzustellen.
Am besten lernt man solche Dinge oft an geeigneten
Beispielen. Dies kannst du tun, indem du auf Formel-
Ausdrücke z.B. in diesem oder in anderen Threads
klickst (oder bloß den Mauszeiger darauf bewegst),
um zu sehen, wie die Terme in $\ T_EX$ eingegeben wurden
LG , Al-Chw.
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