Injektiv und surjektiv < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Sa 30.10.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | In diesen folgenden Fällen entscheiden Sie, ob f injektiv, surjektiv ist. Begründen Sie Ihre Antwort.
(a) Sei f : [mm] R^2 [/mm] -> [mm] R^2, [/mm] sodass f (x, y) = (x + y, x − y).
(b) Sei f : N->N, sodass f (x) = x2. |
Hallo,
bei der a) versteh ich gar nicht was das für eine Funktion ist. Was hat das mit dem komma auf sich? Kann mir das vlt jemand anhand eines anderen Beispiels zeigen.
zur b)
Injektiv ist sie auf jeden fall, da keine zwei natürlichen Zahlen die gleiche Quadratzahl haben können. Aber ob sie surjektiv ist oder nicht bin ich mir nicht ganz so sicher. Ich dachte es ist auch surjektiv, da ja der Werte- und Definitionsbereich gleich mächtig sind, d.h. beide N.
stimmt das?
danke im voraus
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
mit dem Komma hat es folgende Bewandtnis :
[mm] \IR^2 [/mm] (Kurzschreibweise für [mm] \IR\times\IR) [/mm] ist die Menge aller Zahlenpaare, wobei die einzelnen Einträge jeweils aus [mm] \IR [/mm] sind.
Diese Zahlenpaare werden in der Form (a,b), bei manchen Autoren auch (a|b) oder (a;b) geschrieben.
Für die Gleichheit der Zahlenpaare gilt dabei
(a,b) = (c,d) [mm] \gdw [/mm] a=c [mm] \wedge [/mm] b=d
Die Funktion bei a.) bildet nun Zahlenpaare auf Zahlenpaare ab, z.B. ist
f(8,3 , 2) = (8,3+2 , 8,3-2) = (10,3 , 6,3)
Zwei Bemerkungen zur Schreibweise :
1. bei Verwendung des Kommas zwischen den Koordinaten auf saubere Schrift achten, weil sonst keiner mehr weiß, welches Zahlenpaar mit (8,3,2) gemeint ist.
2. f(8,3 , 2) müsste eigentlich f((8,3 , 2)) heißen.
zu b.) :
Teil 1 ist richtig, bei Teil 2 musst du dir die Definition von "surjektiv" noch mal ansehen. Da steht nichts von Mächrigkeit drin.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Sa 30.10.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo Sax,
danke für deine ausführliche Erklärung!
Was das mit dem Komma auf sich hat, habe ich jetzt verstanden, ich weiß aber trotzdem nicht wie ich das bei solchen Funktionen zeigen soll. Kannst du mir das vlt anhand eines anderen Beispiels zeigen?
zur b) Es kann nicht surjektiv sein, weil zum Beispiel 2 keine Quadratzahl ist, also nicht im Bild der Funktion liegt. Stimmt das?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
b.) ist jetzt richtig.
Zu a.) musst du dir Folgendes überlegen :
Injektivität : Können zwei verschiedene Zahlenpaare dasselbe Bild haben ?
Wenn es so ein Beispiel gibt, dann ist f nicht injektiv; wenn du beweisen kannst, dass es solche Zahlenpaare nicht geben kann, dann hast du gezeigt, dass f injektiv ist.
Zwei Beispiele, die nicht funktionieren :
f(8 , 3) = (11 , 5) und f(5 , 6) = (11 , -1) Bilder sind verschieden, weil die zweiten Komponenten nicht gleich sind
f(12 , 7) = (19 , 5) und f(9 , 4) = (13 , 5) Bilder sind verschieden, weil die ersten Komponenten nicht gleich sind
Surjektivität : Kann man zu jedem vorgegebenen Zahlenpaar (u , v) ein Zahlenpaar (x , y) finden, so dass f(x , y) = (u , v) ist ? Wenn du das allgemein zeigen kannst, dann hast du bewiesen, dass f surjektiv ist.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Sa 30.10.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich denke es ist injektiv, denn solch ein Zahlenpaar kann es nicht geben (hab schon so einiges Versucht). Als beweis reichen die einzelnen Beispiele natürlich nicht. Muss ich das jetzt mit der Definition von Injektivität zeigen?
Gruß Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Sa 30.10.2010 | | Autor: | MaRaQ |
Hier stand Unsinn, tut mir leid.
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> > Hallo,
> >
> > ich denke es ist injektiv, denn solch ein Zahlenpaar kann
> > es nicht geben (hab schon so einiges Versucht). Als beweis
> > reichen die einzelnen Beispiele natürlich nicht. Muss ich
> > das jetzt mit der Definition von Injektivität zeigen?
> >
> > Gruß Melisa
>
> Hallo Melisa,
>
> ja, das ist korrekt. Einzelbeispiele taugen niemals als
> Beweis, nur als Gegenbeispiel.
>
> Nur ist die Frage, ob es sich hierfür lohnt, sich um einen
> Beweis zu emühen. Schau lieber noch mal, ob du nicht doch
> ein Gegenbeispiel findest. 
>
> Kann es zwei reelle Zahlen x, y geben, so dass x + y = x -
> y? Wenn ja, wie müssen die aussehen?
>
> Das ist die Frage, die du dir hier stellen musst. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Hallo MaRaQ,
ich frage mich sehr, ob diese Frage hier wirklich weiter
führt .....
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Sa 30.10.2010 | | Autor: | MaRaQ |
Du hast natürlich recht. Da hatte ich einen groben Denkfehler drin. Sorry.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Sa 30.10.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich bin jetzt einwenig durcheinander gekommen.
Sax hat doch gezeigt wie es nicht geht:
f(8 , 3) = (11 , 5) und f(5 , 6) = (11 , -1)
daraus hatte ich verstanden das ich zwei verschiedene x's und zwei verschiedene y's finden soll, so dass das Paar von beiden gleich wird.
Du sagst jetzt ich soll ein x und y finden damit x+y=x-y ist.
Welches muss nun gezeigt werden, damit die Funktion injektiv ist?
Oder ist es das gleiche und ich versteh das einfach nicht?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Sa 30.10.2010 | | Autor: | MaRaQ |
> Hallo,
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>
> ich bin jetzt einwenig durcheinander gekommen.
>
> Sax hat doch gezeigt wie es nicht geht:
>
> f(8 , 3) = (11 , 5) und f(5 , 6) = (11 , -1)
>
> daraus hatte ich verstanden das ich zwei verschiedene x's
> und zwei verschiedene y's finden soll, so dass das Paar von
> beiden gleich wird.
>
> Du sagst jetzt ich soll ein x und y finden damit x+y=x-y
> ist.
>
> Welches muss nun gezeigt werden, damit die Funktion
> injektiv ist?
> Oder ist es das gleiche und ich versteh das einfach
> nicht?
>
> Lg Melisa
Entschuldige, meine Schuld, mein Fehler. Ich war einfach nur völlig daneben, ich weiß nicht wie das passiert ist.
Bitte einfach nicht beachten.
(a) Sei f : $ [mm] R^2 [/mm] $ -> $ [mm] R^2, [/mm] $ sodass f (x, y) = (x + y, x − y).
Du musst rausfinden, ob es Zahlenpaare (x,y) und (x',y') geben kann, so dass:
(x+y, x-y ) = (x'+y', x'-y')
Wobei x=x' oder y=y' gelten kann, aber nicht x=x' und y=y'.
Was ich oben schrieb, ich werde es gleich rausnehmen, war einfach nur Unsinn. Wohl zu spät für mich.
Tut mir leid, ich wollte dich nicht verwirren.
Tipp für den Beweis: Versuch zu folgern:
(x+y, x-y ) = (x'+y', x'-y') => x = x' und y = y'
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Sa 30.10.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
kein Problem, kann passieren 
> Tipp für den Beweis: Versuch zu folgern:
>
>
> (x+y, x-y ) = (x'+y', x'-y') => x = x' und y = y'
Lag ich also mit meiner Vermutung, die Funktion ist injektiv, richtig?
Lg Melisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:03 So 31.10.2010 | | Autor: | melisa1 |
Ok super! Danke nochmal an alle!
Ich denke, den Rest krieg ich hin
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> Zwei Bemerkungen zur Schreibweise :
> 1. bei Verwendung des Kommas zwischen den Koordinaten auf
> saubere Schrift achten, weil sonst keiner mehr weiß,
> welches Zahlenpaar mit (8,3,2) gemeint ist.
> 2. f(8,3 , 2) müsste eigentlich f((8,3 , 2)) heißen.
Hallo Sax (und alle anderen),
falls man zur Darstellung von Dezimalzahlen Kommas verwendet,
ist es natürlich eine sehr schlechte Idee, das Komma auch noch
für die Trennung der Elemente in Paaren, Tripeln etc. zu verwenden.
Ich verwende aus diesem Grund (und anderen) seit Jahrzehnten
keine Dezimalkommas mehr, sondern Dezimalpunkte. Wer sich
vom Dezimalkomma nicht trennen kann, sollte Paare halt z.B.
als (x;y) oder (x | y) schreiben.
LG Al-Chw.
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