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| Aufgabe | Es sei [mm] $f:X\to [/mm] Y$ eine Abbildung. Man zeige:
$f$ ist injektiv [mm] $\iff\exists(h:Y\to X):h\circ f=\text{id}_X$. [/mm] |
Hallo,
Bevor ich mir lange den Kopf zerbreche wäre meine Frage nur, ob es nicht [mm] $h:\text{im}(f)\to [/mm] X$ heißen müsste?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 So 16.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm]f:X\to Y[/mm] eine Abbildung. Man zeige:
> [mm]f[/mm] ist injektiv [mm]\iff\exists(h:Y\to X):h\circ f=\text{id}_X[/mm].
>
> Hallo,
>
> Bevor ich mir lange den Kopf zerbreche wäre meine Frage
> nur, ob es nicht [mm]h:\text{im}(f)\to X[/mm] heißen müsste?
nein - nur macht's durchaus Sinn, bei $h: Y [mm] \to [/mm] X$ den Definitionsbereich
[mm] $Y\,$ [/mm] zu zerlegen in [mm] $Y=\text{im}(f) \cup^d [/mm] (Y [mm] \setminus \text{im}(f))\,.$
[/mm]
(Dabei bedeutet [mm] $\cup^d$ [/mm] "disjunkte Vereinigung" - was heißt, dass die
Mengen, die bei der Vereinigung ins Spiel kommen, (paarweise) disjunkt
sind!)
Das sollte Dir bei der Hin-Richtung helfen, eine solche Funktion [mm] $h\,$ [/mm] wie
gewünscht zu konstruieren. (Tipp: 'Außerhalb' von [mm] $\text{im}(f)$ [/mm] kannst
Du [mm] $h\,$ [/mm] ja setzen, wie Du willst - mit der Einschränkung: [mm] $h\,$ [/mm] darf auch
dann nur Werte annehmen, die in [mm] $X\,$ [/mm] liegen! Nebenbei: Du kannst oben
auch direkt o.E. $X [mm] \not=\emptyset$ [/mm] annehmen - warum?)
Edit: Für obige Aussage oben sollte $X [mm] \not=\emptyset$ [/mm] irgendwo
stehen - ansonsten hat Tobias mit seinem Einwand nämlich recht,
dass die Aussage so nicht beweisbar ist. Es sei denn, bei Euch steht
bei der Definition des Begriffes Abbildung irgendwo zudem, dass der
Definitionsbereich stets nicht leer sein soll!
Denn oben ist das Problem: Ist [mm] $X=\emptyset\,$ [/mm] und $Y [mm] \not=\emptyset\,,$ [/mm] so existiert gar keine
Abbildung $Y [mm] \to X=\emptyset\,.$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:35 Mo 17.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
> Nebenbei: Du kannst oben
> auch direkt o.E. [mm]X \not=\emptyset[/mm] annehmen - warum?)
Wenn ich gerade keinen totalen Blackout habe, ist die Aussage aus der Aufgabenstellung im Allgemeinen falsch, wenn man nicht [mm] $X\not=\emptyset$ [/mm] VORAUSSETZT.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:19 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen,
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> > Nebenbei: Du kannst oben
> > auch direkt o.E. [mm]X \not=\emptyset[/mm] annehmen - warum?)
> Wenn ich gerade keinen totalen Blackout habe, ist die
> Aussage aus der Aufgabenstellung im Allgemeinen falsch,
> wenn man nicht [mm]X\not=\emptyset[/mm] VORAUSSETZT.
naja, wenn [mm] $X=\emptyset\,,$ [/mm] dann ist $f: [mm] \emptyset \to Y\,,$ [/mm] sicherlich
injektiv. Sicherlich gibt's nun kein $h: Y [mm] \to \emptyset\,,$ [/mm] sofern $Y [mm] \not=\emptyset\,.$
[/mm]
Also: Recht hast Du. 
Vielleicht sollte irgendwo bei der Aufgabe stehen:
"Ist entweder $X [mm] \not=\emptyset\,,$ [/mm] oder mit [mm] $X=\emptyset$ [/mm] auch [mm] $y=\emptyset\,,$ [/mm] so gilt:
$f: X [mm] \to [/mm] Y$ ist genau dann injektiv, wenn...
Dabeiist dann [mm] $\text{id}_\emptyset: \emptyset \to \emptyset\,,$ [/mm] also "die leere Abbildung in sich selbst"!
Gruß,
Marcel
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Hallo,
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> > Hallo zusammen,
> >
> >
> > > Nebenbei: Du kannst oben
> > > auch direkt o.E. [mm]X \not=\emptyset[/mm] annehmen -
> warum?)
> > Wenn ich gerade keinen totalen Blackout habe, ist die
> > Aussage aus der Aufgabenstellung im Allgemeinen falsch,
> > wenn man nicht [mm]X\not=\emptyset[/mm] VORAUSSETZT.
>
> naja, wenn [mm]X=\emptyset\,,[/mm] dann ist [mm]f: \emptyset \to Y\,,[/mm]
> sicherlich
> injektiv. Sicherlich gibt's nun kein [mm]h: Y \to \emptyset\,,[/mm]
> sofern [mm]Y \not=\emptyset\,.[/mm]
> Also: Recht hast Du.
>
> Vielleicht sollte irgendwo bei der Aufgabe stehen:
> "Ist entweder [mm]X \not=\emptyset\,,[/mm] oder mit [mm]X=\emptyset[/mm] auch
> [mm]y=\emptyset\,,[/mm] so gilt:
> [mm]f: X \to Y[/mm] ist genau dann injektiv, wenn...
Ist mir sofort ersichtlich, tut es aber nicht. Ich nehme also jetzt [mm] $X\not=\emptyset$ [/mm] an. Ist dann folgendes korrekt?
Sei $f$ injektiv gegeben. Dann ist die Funktion [mm] $\bar{f}:X\to [/mm] f(X)$ mit [mm] $x\mapsto\bar{f}(x):=f(x)$ [/mm] bijektiv. Wegen [mm] $X\not=\emptyset$ [/mm] existiert wenigstens ein Element von $X$, dieses soll mit [mm] $\bar{x}$ [/mm] bezeichnet sein. Dann ist die Funktion
[mm] $h:Y\to X,\qquad y\mapsto h(y):=\begin{cases}
\bar{f}^{-1}(y),&\text{falls }y\in f(X)\\
\bar{x},&\text{falls }y\in(f(X))^c
\end{cases}$
[/mm]
wohldefiniert und für jedes [mm] $x\in [/mm] X$ gilt:
[mm] \[h\circ f(x)=h\circ\bar{f}(x)=\bar{f}^{-1}(x)\circ\bar{f}(x)=\text{id}_X(x).\]
[/mm]
Ist $f$ aber nicht injektiv, so existieren wenigstens die beiden voneinander verschiedenen Elemente [mm] $\bar{x}$ [/mm] und [mm] $\bar{y}$ [/mm] von $X$ mit [mm] $f(\bar{x})=f(\bar{y})$. [/mm] Das heißt
[mm] \[\forall(h:Y\to X):h\circ f(\bar{x})=h\circ f(\bar{y}).\] [/mm] Angenommen, es wäre [mm] $h\circ f=\text{id}_X$, [/mm] so folgte der Widerspruch
[mm] \[\bar{x}\not=\bar{y}=h\circ f(\bar{y})=h\circ f(\bar{x})=\bar{x}.\]
[/mm]
> Dabeiist dann [mm]{id}_\emptyset: \emptyset \to \emptyset\,,[/mm]
> also "die leere Abbildung in sich selbst"!
>
> Gruß,
> Marcel
Vielen Dank und Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Di 18.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> >
> > > Hallo zusammen,
> > >
> > >
> > > > Nebenbei: Du kannst oben
> > > > auch direkt o.E. [mm]X \not=\emptyset[/mm] annehmen -
> > warum?)
> > > Wenn ich gerade keinen totalen Blackout habe, ist
> die
> > > Aussage aus der Aufgabenstellung im Allgemeinen falsch,
> > > wenn man nicht [mm]X\not=\emptyset[/mm] VORAUSSETZT.
> >
> > naja, wenn [mm]X=\emptyset\,,[/mm] dann ist [mm]f: \emptyset \to Y\,,[/mm]
> > sicherlich
> > injektiv. Sicherlich gibt's nun kein [mm]h: Y \to \emptyset\,,[/mm]
> > sofern [mm]Y \not=\emptyset\,.[/mm]
> > Also: Recht hast Du.
> >
> > Vielleicht sollte irgendwo bei der Aufgabe stehen:
> > "Ist entweder [mm]X \not=\emptyset\,,[/mm] oder mit [mm]X=\emptyset[/mm] auch
> > [mm]y=\emptyset\,,[/mm] so gilt:
> > [mm]f: X \to Y[/mm] ist genau dann injektiv, wenn...
> Ist mir sofort ersichtlich, tut es aber nicht. Ich nehme
> also jetzt [mm]X\not=\emptyset[/mm] an. Ist dann folgendes korrekt?
>
> Sei [mm]f[/mm] injektiv gegeben. Dann ist die Funktion [mm]\bar{f}:X\to f(X)[/mm]
> mit [mm]x\mapsto\bar{f}(x):=f(x)[/mm] bijektiv. Wegen
> [mm]X\not=\emptyset[/mm] existiert wenigstens ein Element von [mm]X[/mm],
> dieses soll mit [mm]\bar{x}[/mm] bezeichnet sein. Dann ist die
> Funktion
> [mm]$h:Y\to X,\qquad y\mapsto h(y):=\begin{cases}
\bar{f}^{-1}(y),&\text{falls }y\in f(X)\\
\bar{x},&\text{falls }y\in(f(X))^c
\end{cases}$[/mm]
>
> wohldefiniert und für jedes [mm]x\in X[/mm] gilt:
> [mm]\[h\circ f(x)=h\circ\bar{f}(x)\red{\;=\;\bar{f}^{-1}(x)\circ\bar{f}(x)\;=\;}\text{id}_X(x).\][/mm]
ersetze den rotmarkierten Teil durch das richtige - Du meinst es richtig,
aber notierst es falsch:
[mm] $$=(\bar{f}^{-1} \circ \bar{f})(x)=x=$$
[/mm]
oder
[mm] $$=\bar{f}^{-1}(\bar{f}(x))=x=$$ [/mm]
könnte man da hinschreiben!
> Ist [mm]f[/mm] aber nicht injektiv, so existieren wenigstens
> die beiden
Schreibe einfach stattdessen:
zwei
> voneinander verschiedenen Elemente [mm]\bar{x}[/mm] und
> [mm]\bar{y}[/mm] von [mm]X[/mm] mit [mm]f(\bar{x})=f(\bar{y})[/mm]. Das heißt
> [mm]\[\forall(h:Y\to X):h\circ f(\bar{x})=h\circ f(\bar{y}).\][/mm]
Wieso steht nun da ein [mm] $\forall$?
[/mm]
Du bist doch nun einfach beim Beweisteil: Wenn eine solche Funktion
[mm] $h\,$ [/mm] - siehe Aufgabenstellung - existiert, dann ist zu zeigen, dass dann
aber schon [mm] $f\,$ [/mm] injektiv sein muss. Also:
Sei nun $h: Y [mm] \to [/mm] X$ mit $h [mm] \circ f=\text{id}_X\,,$ [/mm] und wir haben
angenommen, dass [mm] $f\,$ [/mm] nicht injektiv sei, d.h. es gebe [mm] $\bar{x} \not=\bar{y}$ [/mm] - beide in [mm] $X\,$ [/mm] gelegen - mit [mm] $f(\bar{x})=f(\bar{y})\,.$
[/mm]
> Angenommen, es wäre
Wegen
> [mm]h\circ f=\text{id}_X[/mm], so folgte der
> Widerspruch
> [mm]\[\bar{x}\not=\bar{y}=h\circ f(\bar{y})=h\circ f(\bar{x})=\bar{x}.\][/mm]
Ich hätte es so notiert: Es folgt
[mm] $$\bar{x}=\text{id}_X(\bar{x})=(h \circ f)(\bar{x})=(h \circ f)(\bar{y})=\text{id}_X(\bar{y})=\bar{y}$$
[/mm]
im Widerspruch zur Annahme [mm] $\bar{x} \not=\bar{y}\,.$
[/mm]
Aber falsch ist Deins nicht, nur - vielleicht - etwas ungewöhnlich
aufgeschrieben!
Aber im Großen und Ganzen war das:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(In der einen Beweisrichtung hast Du nur einen formalen Fehler drin, s.o., bei der anderen sieht's mir eher so aus, als wenn da Vertipper drin waren
und/oder Du auch an der ein oder anderen Stelle etwas durcheinander
gekommen bist!)
Gruß,
Marcel
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Hallo, vielen Dank schonmal.
Ich habe gerade keine Zeit für mehr Beschäftigung, aber ist nicht [mm] $A\iff B:=A\implies B\land\neg A\implies \neg [/mm] B$? Das habe ich machen wollen...
Ich werde mich noch einmal mehr mit deiner Antwort beschäftigen.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Di 18.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, vielen Dank schonmal.
>
> Ich habe gerade keine Zeit für mehr Beschäftigung, aber
> ist nicht [mm]A\iff B:=A\implies B\land\neg A\implies \neg B[/mm]?
ja - das ist das gleiche: $A [mm] \iff [/mm] B$ bedeutet ja, dass sowohl $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
als auch $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ gilt. Und Du schreibst halt für $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$
dann die Kontraposition [mm] $\neg [/mm] A [mm] \Rightarrow \neg B\,,$ [/mm] die
gleichbedeutend mit $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ ist.
> Das habe ich machen wollen...
Das machst Du doch auch: Wenn [mm] $f\,$ [/mm] nicht injektiv ist, zeigst Du, dass es
keine Funktion [mm] $h\,$ [/mm] wie gewünscht geben kann, denn:
Würde eine solche doch existieren, so folgerst Du dann den Widerspruch
[mm] $\bar{x} \not=\bar{x}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Ich glaube, mir ist alles klar. Vilen Dak.
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