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| Aufgabe | [mm] f_1: \IR^2\to \IR, (x,y)\mapsto [/mm] x+y
[mm] f_2: \IR^2\to \IR, (x,y)\mapsto x^2+y^2-1
[/mm]
[mm] f_3: \IR^2\to \IR^2, (x,y)\mapsto [/mm] (x+2y,2x-y) |
Ich muss dazu sagen, ich habe nie wirklich verstanden wie man das zeigt. Ich kenne zwar die Definition und kann mir darunter was vorstellen, aber wie ich das zeigen soll weiß ich nicht.
Injektiv: wenn zu jedem y aus Y ´höchstens´ein x aus X mit f(x)=y existiert
Surjektiv: für alle y aus Y muss ´mindestens´ein x aus X existieren mit f(x)=y
könnt ihr mir das vielleicht nochmal erklären und wie man das formell aufschreibt?? Vielleicht könnt ihr mir das an einem ähnlichen beispiel nochmal erklären? Ich muss die Abbildungen glaub ich umformen???
Mathegirl
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> [mm]f_1: \IR^2\to \IR, (x,y)\mapsto[/mm] x+y
Hallo,
[mm] f_1 [/mm] bildet in den [mm] \IR [/mm] ab.
Daher mußt Du für Surjektivität zeigen, daß (und wie!) auf jede reelle Zahl [mm] z\in \IR [/mm] ein Zahlenpaar (denn dies sind die Elemente, mit denen man es im Definitionsbereich zu tun hat) aus dem [mm] \IR^2 [/mm] abgebildet wird.
Nicht surjektiv: liefere ein Element des Wertebereiches, auf welches kein Element des definitionsbereiches abgebildet wird.
Beh.: [mm] f_1 [/mm] ist surjektiv
Bew. sei [mm] z\in \IR.
[/mm]
Es ist f(0,z)=0+z=z.
Also ist [mm] f_1 [/mm] surjektiv.
Injektiv: hierfür zeigt man meist am geschicktesten, daß aus der Gleichheit zweier Funktionswerte die Gleichheit der Argumente folgt.
nicht injektiv: Beispiel bringen dafür, daß zwei verschiedene Elemente des Definitionsbereiches auf denselben Wert abgwbildet werden.
Beh.: [mm] f_1 [/mm] ist nicht injektiv.
Bew.: es ist f(0,1)=0+1=1 und f(1,0)=1+0=1, aber [mm] (0,1)\not=(1,0).
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo!
Die 1 und 2 sind kein Problem, aber ich hänge bei der Begründung für die 3. Ich denke, dass sie bijektiv ist, also injektiv und surjektiv, aber ich kriege keine fachluch richtige Begründung hin.
Hat da jemand einen Tipp für mich?
Danke! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Mathegirl |
Hallo Andariella,
kannst du mir 1+2 vielleicht irgendwie erklären, wie ich das machen kann?
Sorry, aber verstehe es echt nicht.
Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Andariella |
Also ich versuchs mal:
(das ist jetzt nicht mathematisch korrekt, sondern umgangssprachlich)
bei der 1 musst du dich fragen:
injektiv?
kommt ein f(x,y) genau einmal vor für ein spezielles x und y oder mehrmals? wenn es nur einmal vorkommt, dann musst du das begründen (dann wäre es injektiv) und wenn du beispiele findest, bei denen f(x1,y1)=f(x2,y2) obwohl [mm] x1\not=x2 [/mm] und [mm] y1\not=y2 [/mm] dann wäre es nicht injektiv
überleg dir mal, ob es so ein beispiel gibt...
surjektiv?
es wird ja laut aufgabenstellung von R² auf R abgebildet, jetzt musst du dich fragen, wird auf den gesamten bildbereich (R) abgebildet oder nicht? überleg mal, wie du zB auf -10 abbilden kannst, dann kommst du sicher drauf...
bei der 2 läuft das eigentlich genauso
ich hoffe, das war einigermaßen verständlich.. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Mathegirl |
vielen dank! ich denke ich komme damit sicher weiter, hoffe ich ja mal :)
falls ich zum 3. noch nen schlauen Einfall habe schreibe ich dir!
Mathegirl
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> Hallo Andariella,
> kannst du mir 1+2 vielleicht irgendwie erklären, wie ich
> das machen kann?
Hallo,
ich bin echt irritiert.
Hast Du meine Antwort nicht gelesen?
Gruß v. Angela
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> Hallo!
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> Die 1 und 2 sind kein Problem, aber ich hänge bei der
> Begründung für die 3. Ich denke, dass sie bijektiv ist,
> also injektiv und surjektiv, aber ich kriege keine fachluch
> richtige Begründung hin.
>
> Hat da jemand einen Tipp für mich?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Schade, daß Du nicht zeigst, was Du versucht hast, dann könnte man nämlich sehen, woran es hängt - ich vermute mal, daß es der [mm] \IR^2 [/mm] ist.
>>>> $ [mm] f_3: \IR^2\to \IR^2, (x,y)\mapsto [/mm] $ (x+2y,2x-y)
zur Surjektivität:
Du mußt ja zeigen, daß auf jedes Element des Wertebereiches ein Element der Definitionsmenge abgebildet wird.
Die Elemente des Wertebereiches sind Zahlenpaare, die des Definitionsbereiches ebenfalls.
Was also ist zu tun?
Zu festen, vorgegebenem (a,b) ist ein Zahlenpaar (x,y) zu suchen, so daß f(x,y)=(a,b).
Nimm Dir nun einen Schmierzettel und löse das dadurch gegebene Gleichungssystem. a,b sind feste Zahlen, Du ermittelst Nun die passenden x,y.
Sie werden von a,b abhängen.
Dannn setzt Du - auf dem guten Papier - dad gefundene zahlenpaar in die Funktion ein, und rechnst vor, wie am Ende (a,b) herauskommt: f(...,...)=(a,b).
Zur Injektivität:
Hier ist zu zeigen, daß nicht zwei Zahlenpaare auf dasselbe Zahlenpaar abgebildet werden, bzw, daß aus der Gleichheit der Funktionswerte die Gleichheit der Argumente folgt:
Sei f(x,y)=f(x',y') ==> ...
Am Ende willst Du haben ... ==> (x,y)=(x',y').
Du mußt zuvor also daraufzusteuern zu zeigen, daß x=x' und y=y'.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Do 12.11.2009 | | Autor: | Andariella |
Ja genau, ich hatte Probleme wegen R² als Bildbereich, vielen Dank für den Tipp, werds gleich mal durchrechnen. :)
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Also die Surjektivität hat einwandfrei geklappt, (super Tipp!) allerdings hänge ich jetzt bei der Injektivität.
Bisher hab ich leider erst:
f(x,y) = f(x',y')
(x-2y,2x-y)=(x'+2y',2x'-y')
Dann hab ich überlegt, wie folgt weiter zu machen:
x-2y=x'+2y' und 2x-y=2x'-y'
aber dann gehts ja irgendwie nicht weiter, oder?
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> Also die Surjektivität hat einwandfrei geklappt, (super
> Tipp!) allerdings hänge ich jetzt bei der Injektivität.
>
> Bisher hab ich leider erst:
>
> f(x,y) = f(x',y')
> [mm] (x\red{+}2y,2x-y)=(x'+2y',2x'-y')
[/mm]
>
> Dann hab ich überlegt, wie folgt weiter zu machen:
>
>I: [mm] x\red{+}2y=x'+2y' [/mm] und II: 2x-y=2x'-y'
>
> aber dann gehts ja irgendwie nicht weiter, oder?
Hallo,
ich denke, es wird weitergehen:
I.+2*II: 5x=5x' ==> ???
Nun weiter.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Do 12.11.2009 | | Autor: | Andariella |
(böses minus :D )
ja jetzt hats alles geklappt x=x' und nach einsetzen auch y=y'. ich steh aber auch manchmal auf'm schlauch... :D
Vielen Dank!
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