Injektivität beweisen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Mo 29.04.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Es sei f : X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
a) f ist injektiv.
b) f^-1(f(A)) = A für alle A [mm] \subset [/mm] X.
c) f(A [mm] \cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) für alle A,B [mm] \subset [/mm] X. |
Hallo,
irgendwie schaffe ich es nicht, auf den Beweis zu kommen.
Meine Ansätze sind die folgenden:
Erstmal muss ich insgesamt 3 Sachen zeigen: a <-> b, b <-> c, c <-> a
a <-> b: da f^-1(f(A)) = A die identität darstellt, die ja sowieso injektiv ist, muss ich hier doch nichts wirklich beweisen oder?
b <-> c: wenn das f^-1(f(A)) = A die identität darstellt, muss ich doch nur
f(A [mm] \cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) für alle A,B [mm] \subset [/mm] X zeigen oder? weil f^-1(f(B)) = B durch die Identität ist.
c <-> a: [mm] "\Rightarrow" [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
Wähle y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B), dann existiert [mm] x\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B mit y=f(x).
Da [mm] x\in [/mm] A gilt: y=f(x) [mm] \in [/mm] f(A) und es gilt: y=f(x) [mm] \in [/mm] f(B) und insgesamt
y [mm] \in [/mm] (f(A) [mm] \cap [/mm] f(B))
Da f injektiv ist, wird kein anderes Element in die Schnittmenge f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) abgebildet.
Für die andere Richtung fehlt mir leider der Ansatz. Freue mich über Denkanstöße. Vielen Dank schonmal im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sollten wir deine Frage in einem Forum finden, das du hier nicht aufgeführt (oder später ergänzt) hast, werden wir deine Frage nicht unseren hilfsbereiten Mitgliedern vorlegen, sondern die Beantwortung den interessierten Mitgliedern überlassen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Mo 29.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo kRAITOS und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Es sei f : X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung. Zeigen Sie, dass die
> folgenden Aussagen äquivalent sind:
>
> a) f ist injektiv.
>
> b) f^-1(f(A)) = A für alle A [mm]\subset[/mm] X.
>
> c) f(A [mm]\cap[/mm] B) = f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) für alle A,B [mm]\subset[/mm] X.
> Erstmal muss ich insgesamt 3 Sachen zeigen: a <-> b, b <->
> c, c <-> a
Wenn du z.B. gezeigt hast, dass [mm] $a)\gdw [/mm] b)$ und [mm] $a)\gdw [/mm] c)$, brauchst du [mm] $b)\gdw [/mm] c)$ nicht mehr zu zeigen, denn dann folgt [mm] $b)\gdw a)\gdw [/mm] c)$, was [mm] $b)\gdw [/mm] c)$ impliziert. Mit anderen Worten: Wenn a) und b) das Gleiche aussagen und a) und c) das Gleiche aussagen, dann sagen a), b) und c) das gleiche aus.
Alternativ könntest du auch [mm] $a)\Rightarrow b)\Rightarrow c)\Rightarrow [/mm] a)$ zeigen (das wäre ein sogenannter "Ringschluss").
> a <-> b: da f^-1(f(A)) = A die identität darstellt
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Da steht die Gleichheit zweier Mengen. Die Identität auf irgendeiner Menge ist eine Abbildung.
> , die ja
> sowieso injektiv ist, muss ich hier doch nichts wirklich
> beweisen oder?
Du musst nacheinander [mm] $a)\Rightarrow [/mm] b)$ und [mm] $b)\Rightarrow [/mm] a)$ zeigen.
Also zu zeigen:
1. [mm] $a)\Rightarrow [/mm] b)$: Wenn f injektiv ist, muss [mm] $f^{-1}(f(A))=A$ [/mm] für alle [mm] $A\subseteq [/mm] X$ gelten.
2. [mm] $b)\Rightarrow [/mm] a)$: Wenn [mm] $f^{-1}(f(A))=A$ [/mm] für alle [mm] $A\subset [/mm] X$ gilt, muss $f$ injektiv sein.
Du scheinst [mm] $f^{-1}$ [/mm] misszuverstehen. [mm] $f^{-1}$ [/mm] ist hier nicht die Umkehrfunktion einer bijektiven Abbildung, sondern
[mm] $f^{-1}(B):=\{x\in X\;|\;f(x)\in B\}$
[/mm]
für MENGEN [mm] $B\subseteq [/mm] Y$.
> b <-> c: wenn das f^-1(f(A)) = A die identität darstellt,
> muss ich doch nur
> f(A [mm]\cap[/mm] B) = f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) für alle A,B [mm]\subset[/mm] X
> zeigen oder? weil f^-1(f(B)) = B durch die Identität ist.
Es gilt Analoges zu oben.
> c <-> a: [mm]"\Rightarrow"[/mm]
Du meinst wohl [mm] "$\Leftarrow$".
[/mm]
> f(A [mm]\cap[/mm] B) = f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
>
> Wähle y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B), dann existiert [mm]x\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B mit
> y=f(x).
>
> Da [mm]x\in[/mm] A gilt: y=f(x) [mm]\in[/mm] f(A) und es gilt: y=f(x) [mm]\in[/mm]
> f(B) und insgesamt
> y [mm]\in[/mm] (f(A) [mm]\cap[/mm] f(B))
Das sieht gut aus! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Die erste Hälfte von [mm] $a)\Rightarrow [/mm] c)$ wäre damit gezeigt: Du hast [mm] $f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap [/mm] f(B)$ für alle [mm] $A,B\subseteq [/mm] X$ gezeigt. (Das gilt übrigens selbst für nicht injektive Abbildungen [mm] $f\colon X\to [/mm] Y$.)
> Da f injektiv ist, wird kein anderes Element in die
> Schnittmenge f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) abgebildet.
Zeigen musst du [mm] $f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap [/mm] B)$ für alle [mm] $A,B\subseteq [/mm] X$.
Fange dazu genauso sauber an, wie für die schon gezeigte Teilmengenbeziehung.
> Für die andere Richtung fehlt mir leider der Ansatz. Freue
> mich über Denkanstöße. Vielen Dank schonmal im voraus.
[mm] $c)\Rightarrow [/mm] a)$: Gelte c). Zu zeigen ist a), also die Injektivität von f.
Seien [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $f(x_1)=f(x_2)$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $x_1=x_2$.
[/mm]
Betrachte dazu mal [mm] $A:=\{x_1\}$ [/mm] und [mm] $B:=\{x_2\}$ [/mm] und wende c) darauf an.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mo 29.04.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Hallo Tobias,
erstmal vielen Dank, dass du dir Zeit genommen hast. 
Also ist mit [mm]f^{-1}(B):=\{x\in X\;|\;f(x)\in B\}[/mm] das Urbild gemeint?
Seien x1,x2 [mm] \in [/mm] X mit f(x1) = f(x2). Zu zeigen ist x1=x2.
Dann würde ich mir ein y beliebig wählen:
Sei y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) [mm] \gdw [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] y [mm] \in [/mm] f(x1)
Sei x1 [mm] \in [/mm] A mit y=f(x1) und sei x2 [mm] \in [/mm] B mit y [mm] \in [/mm] f(x2)
Wegen der Injektivität ist dann y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B), da x1=x2 [mm] \Rightarrow [/mm] f(x1) = f(x2).
Und insgesamt wurde aus [mm] "\Rightarrow" [/mm] und [mm] "\Leftarrow" [/mm] dann folgen, dass
f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) = f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] f ist injektiv
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Mo 29.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Also ist mit [mm]f^{-1}(B):=\{x\in X\;|\;f(x)\in B\}[/mm] das Urbild
> gemeint?
Genau.
> Seien x1,x2 [mm]\in[/mm] X mit f(x1) = f(x2). Zu zeigen ist x1=x2.
Du bist also beim Beweis von [mm] $c)\Rightarrow [/mm] a)$?
> Dann würde ich mir ein y beliebig wählen:
>
> Sei y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] y [mm]\in[/mm] f(x1)
Wenn du [mm] $\cap$ [/mm] durch ein [mm] $\wedge$ [/mm] ersetzt, folgt diese Äquivalenz in der Tat für alle [mm] $y\in [/mm] Y$ und alle [mm] $A,B\subseteq [/mm] X$ aus $c)$.
> Sei x1 [mm]\in[/mm] A mit y=f(x1) und sei x2 [mm]\in[/mm] B mit y [mm]\in[/mm] f(x2)
Ich nehme mal an, du nimmst hier speziell [mm] $A:=\{x_1\}$ [/mm] und [mm] $B:=\{x_2\}$ [/mm] wie von mir vorgeschlagen?
Du meinst wohl [mm] $y=f(x_2)$ [/mm] statt [mm] $y\in f(x_2)$.
[/mm]
Betrachten wir also speziell [mm] $y:=f(x_1)$. [/mm] Wegen [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] gilt dann in der Tat auch [mm] $y=f(x_2)$.
[/mm]
> Wegen der Injektivität
Die versuchst du doch gerade erst zu zeigen!
> ist dann y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B)
Es ist auf alle Fälle [mm] $y\in [/mm] f(A)$ wegen [mm] $A=\{x_1\}$ [/mm] und [mm] $f(x_1)=y$.
[/mm]
Genauso ist [mm] $y\in [/mm] f(B)$.
Also [mm] $y\in f(A)\cap [/mm] f(B)$.
Nach $c)$ also [mm] $y\in f(A\cap [/mm] B)$.
Was bedeutet [mm] $y\in f(A\cap [/mm] B)$ nach Definition von [mm] $f(A\cap [/mm] B)$?
Was bedeutet das wiederum unter Berücksichtigung von [mm] $A=\{x_1\}$ [/mm] und [mm] $B=\{x_2\}$?
[/mm]
, da
> x1=x2 [mm]\Rightarrow[/mm] f(x1) = f(x2).
WENN [mm] $x_1=x_2$, [/mm] dann gilt natürlich auch [mm] $f(x_1)=f(x_2)$. [/mm] (Das hat nichts mit Injektivität zu tun.) Wir wollen aber ja gerade [mm] $x_1=x_2$ [/mm] zeigen.
> Und insgesamt wurde aus [mm]"\Rightarrow"[/mm] und [mm]"\Leftarrow"[/mm] dann
> folgen, dass
>
> f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) = f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\gdw[/mm] f ist injektiv
Ja. Aber noch hast du keine der beiden Richtungen vollständig gezeigt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Di 30.04.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> > Also ist mit [mm]f^{-1}(B):=\{x\in X\;|\;f(x)\in B\}[/mm] das Urbild
> > gemeint?
> Genau.
Na da [mm] f^{-1}(f(B))=B, [/mm] dann heißt das doch, dass x ins Bild abgebildet wird und dann ins Urbild. Ich kann das doch als Komposition ansehen vom Bild und vom Urbild oder?
> > Seien x1,x2 [mm]\in[/mm] X mit f(x1) = f(x2). Zu zeigen ist x1=x2.
> Du bist also beim Beweis von [mm]c)\Rightarrow a)[/mm]?
Ja bin ich.
> > Dann würde ich mir ein y beliebig wählen:
> >
> > Sei y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] y [mm]\in[/mm] f(x1)
> Wenn du [mm]\cap[/mm] durch ein [mm]\wedge[/mm] ersetzt, folgt diese
> Äquivalenz in der Tat für alle [mm]y\in Y[/mm] und alle
> [mm]A,B\subseteq X[/mm] aus [mm]c)[/mm].
> > Sei x1 [mm]\in[/mm] A mit y=f(x1) und sei x2 [mm]\in[/mm] B mit y [mm]\in[/mm] f(x2)
> Ich nehme mal an, du nimmst hier speziell [mm]A:=\{x_1\}[/mm] und
> [mm]B:=\{x_2\}[/mm] wie von mir vorgeschlagen?
>
> Du meinst wohl [mm]y=f(x_2)[/mm] statt [mm]y\in f(x_2)[/mm].
Richtig. Benutze zum ersten mal die Seite hier und es ist etwas ungewohnt für mich.
> Betrachten wir also speziell [mm]y:=f(x_1)[/mm]. Wegen [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm]
> gilt dann in der Tat auch [mm]y=f(x_2)[/mm].
>
> > Wegen der Injektivität
> Die versuchst du doch gerade erst zu zeigen!
>
> > ist dann y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B)
>
>
> Es ist auf alle Fälle [mm]y\in f(A)[/mm] wegen [mm]A=\{x_1\}[/mm] und
> [mm]f(x_1)=y[/mm].
> Genauso ist [mm]y\in f(B)[/mm].
>
> Also [mm]y\in f(A)\cap f(B)[/mm].
>
> Nach [mm]c)[/mm] also [mm]y\in f(A\cap B)[/mm].
>
> Was bedeutet [mm]y\in f(A\cap B)[/mm] nach Definition von [mm]f(A\cap B)[/mm]?
>
> Was bedeutet das wiederum unter Berücksichtigung von
> [mm]A=\{x_1\}[/mm] und [mm]B=\{x_2\}[/mm]?
Na ich muss hier festlegen, dass A [mm] \cap [/mm] B [mm] \not= \emptyset. [/mm] Denn wenn es die leere Menge wäre, gäbe es nur entweder y [mm] \in [/mm] A, y [mm] \in [/mm] B oder y ist in keiner Menge.
Unter Berücksichtigung von [mm]A=\{x_1\}[/mm] und [mm]B=\{x_2\}[/mm] bedeutet das, dass x1 und x2 sich im Schnitt von A [mm] \cap [/mm] B befinden, da auch y [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B.
> , da
> > x1=x2 [mm]\Rightarrow[/mm] f(x1) = f(x2).
> WENN [mm]x_1=x_2[/mm], dann gilt natürlich auch [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm].
> (Das hat nichts mit Injektivität zu tun.) Wir wollen aber
> ja gerade [mm]x_1=x_2[/mm] zeigen.
>
> > Und insgesamt wurde aus [mm]"\Rightarrow"[/mm] und [mm]"\Leftarrow"[/mm] dann
> > folgen, dass
> >
> > f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) = f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\gdw[/mm] f ist injektiv
> Ja. Aber noch hast du keine der beiden Richtungen
> vollständig gezeigt.
Was fehlt denn bei der anderen Richtung noch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Di 30.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > > Also ist mit [mm]f^{-1}(B):=\{x\in X\;|\;f(x)\in B\}[/mm] das Urbild
> > > gemeint?
> > Genau.
>
> Na da [mm]f^{-1}(f(B))=B,[/mm] dann heißt das doch, dass x ins Bild
> abgebildet wird und dann ins Urbild.
Nicht x wird abgebildet, sondern einer Menge $B$ wird ihr Bild $f(B)$ zugeordnet. Dieser Menge wiederum wird ihr Urbild [mm] $f^{-1}(f(B))$ [/mm] zugeordnet.
> Ich kann das doch als
> Komposition ansehen vom Bild und vom Urbild oder?
Wenn du möchtest kannst du das so sehen. Das heißt aber im Allgemeinen noch lange nicht, dass [mm] $f^{-1}(f(B))=B$ [/mm] gilt.
> > > Seien x1,x2 [mm]\in[/mm] X mit f(x1) = f(x2). Zu zeigen ist x1=x2.
> > Du bist also beim Beweis von [mm]c)\Rightarrow a)[/mm]?
>
> Ja bin ich.
>
> > > Dann würde ich mir ein y beliebig wählen:
> > >
> > > Sei y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] y [mm]\in[/mm] f(x1)
> > Wenn du [mm]\cap[/mm] durch ein [mm]\wedge[/mm] ersetzt, folgt diese
> > Äquivalenz in der Tat für alle [mm]y\in Y[/mm] und alle
> > [mm]A,B\subseteq X[/mm] aus [mm]c)[/mm].
>
> > > Sei x1 [mm]\in[/mm] A mit y=f(x1) und sei x2 [mm]\in[/mm] B mit y [mm]\in[/mm] f(x2)
> > Ich nehme mal an, du nimmst hier speziell [mm]A:=\{x_1\}[/mm]
> und
> > [mm]B:=\{x_2\}[/mm] wie von mir vorgeschlagen?
> >
> > Du meinst wohl [mm]y=f(x_2)[/mm] statt [mm]y\in f(x_2)[/mm].
>
> Richtig. Benutze zum ersten mal die Seite hier und es ist
> etwas ungewohnt für mich.
>
> > Betrachten wir also speziell [mm]y:=f(x_1)[/mm]. Wegen [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm]
> > gilt dann in der Tat auch [mm]y=f(x_2)[/mm].
> >
> > > Wegen der Injektivität
> > Die versuchst du doch gerade erst zu zeigen!
> >
> > > ist dann y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B)
> >
> >
> > Es ist auf alle Fälle [mm]y\in f(A)[/mm] wegen [mm]A=\{x_1\}[/mm] und
> > [mm]f(x_1)=y[/mm].
> > Genauso ist [mm]y\in f(B)[/mm].
> >
> > Also [mm]y\in f(A)\cap f(B)[/mm].
> >
> > Nach [mm]c)[/mm] also [mm]y\in f(A\cap B)[/mm].
> >
> > Was bedeutet [mm]y\in f(A\cap B)[/mm] nach Definition von [mm]f(A\cap B)[/mm]?
>
> >
> > Was bedeutet das wiederum unter Berücksichtigung von
> > [mm]A=\{x_1\}[/mm] und [mm]B=\{x_2\}[/mm]?
>
> Na ich muss hier festlegen, dass A [mm]\cap[/mm] B [mm]\not= \emptyset.[/mm]
> Denn wenn es die leere Menge wäre, gäbe es nur entweder y
> [mm]\in[/mm] A, y [mm]\in[/mm] B oder y ist in keiner Menge.
> Unter Berücksichtigung von [mm]A=\{x_1\}[/mm] und [mm]B=\{x_2\}[/mm]
> bedeutet das, dass x1 und x2 sich im Schnitt von A [mm]\cap[/mm] B
> befinden, da auch y [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B.
Ich glaube, du meinst das Richtige! Ich würde es so aufschreiben:
Wegen [mm] $y\in f(A\cap [/mm] B)$ existiert ein [mm] $x\in A\cap [/mm] B$ mit $f(x)=y$.
Wegen [mm] $x\in A=\{x_1\}$ [/mm] gilt [mm] $x=x_1$.
[/mm]
Wegen [mm] $x\in B=\{x_2\}$ [/mm] gilt [mm] $x=x_2$.
[/mm]
Also wie gewünscht [mm] $x_1=x_2$.
[/mm]
> > , da
> > > x1=x2 [mm]\Rightarrow[/mm] f(x1) = f(x2).
> > WENN [mm]x_1=x_2[/mm], dann gilt natürlich auch [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm].
> > (Das hat nichts mit Injektivität zu tun.) Wir wollen aber
> > ja gerade [mm]x_1=x_2[/mm] zeigen.
> >
> > > Und insgesamt wurde aus [mm]"\Rightarrow"[/mm] und [mm]"\Leftarrow"[/mm] dann
> > > folgen, dass
> > >
> > > f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) = f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\gdw[/mm] f ist injektiv
> > Ja. Aber noch hast du keine der beiden Richtungen
> > vollständig gezeigt.
>
> Was fehlt denn bei der anderen Richtung noch?
Bei [mm] $a)\Rightarrow [/mm] c)$ bisher nur [mm] $f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap [/mm] f(B)$ für alle [mm] $A,B\subseteq [/mm] X$ gezeigt. Es fehlt noch der Beweis der umgekehrten Teilmengenbeziehung [mm] $f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap [/mm] B)$ (unter der Annahme von $a)$, also der Injektivität von $f$).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Di 30.04.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> > > > Also ist mit [mm]f^{-1}(B):=\{x\in X\;|\;f(x)\in B\}[/mm] das Urbild
> > > > gemeint?
> > > Genau.
> >
> > Na da [mm]f^{-1}(f(B))=B,[/mm] dann heißt das doch, dass x ins Bild
> > abgebildet wird und dann ins Urbild.
> Nicht x wird abgebildet, sondern einer Menge [mm]B[/mm] wird ihr
> Bild [mm]f(B)[/mm] zugeordnet. Dieser Menge wiederum wird ihr Urbild
> [mm]f^{-1}(f(B))[/mm] zugeordnet.
>
> > Ich kann das doch als
> > Komposition ansehen vom Bild und vom Urbild oder?
> Wenn du möchtest kannst du das so sehen. Das heißt aber
> im Allgemeinen noch lange nicht, dass [mm]f^{-1}(f(B))=B[/mm] gilt.
Na laut Aufgabe soll das ja nur für A [mm] \subset [/mm] X gelten.
Also müsste ich hier auch wieder anfangen mit: Sei x [mm] \in [/mm] A aber wie führe ich hier den Beweis?
Zuerst wird ja x ins Bild von f abgebildet und dann ins Urbild von [mm] f^{-1}. [/mm] Ist das nicht trivial? Vllt sehe ich das auch falsch aber es ist doch egal, welche Menge ich da einsetzen würde, da jede Menge immer wieder zum gleichen Ergebnis führen würde.
Also: [mm] f^{-1}(f(irgendeine [/mm] Menge))= irgendeine Menge
Das Einzige, was ich in dieser Aufgabe doch beachten muss, ist, dass x [mm] \in [/mm] A ist. Aber selbst, wenn es das nicht ist, kann es doch aber trotzdem zum gewünschten Ergebnis führen oder?
> > > > Seien x1,x2 [mm]\in[/mm] X mit f(x1) = f(x2). Zu zeigen ist x1=x2.
> > > Du bist also beim Beweis von [mm]c)\Rightarrow a)[/mm]?
> >
> > Ja bin ich.
> >
> > > > Dann würde ich mir ein y beliebig wählen:
> > > >
> > > > Sei y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] y [mm]\in[/mm] f(x1)
> > > Wenn du [mm]\cap[/mm] durch ein [mm]\wedge[/mm] ersetzt, folgt diese
> > > Äquivalenz in der Tat für alle [mm]y\in Y[/mm] und alle
> > > [mm]A,B\subseteq X[/mm] aus [mm]c)[/mm].
> >
> > > > Sei x1 [mm]\in[/mm] A mit y=f(x1) und sei x2 [mm]\in[/mm] B mit y [mm]\in[/mm] f(x2)
> > > Ich nehme mal an, du nimmst hier speziell [mm]A:=\{x_1\}[/mm]
> > und
> > > [mm]B:=\{x_2\}[/mm] wie von mir vorgeschlagen?
> > >
> > > Du meinst wohl [mm]y=f(x_2)[/mm] statt [mm]y\in f(x_2)[/mm].
> >
> > Richtig. Benutze zum ersten mal die Seite hier und es ist
> > etwas ungewohnt für mich.
> >
> > > Betrachten wir also speziell [mm]y:=f(x_1)[/mm]. Wegen [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm]
> > > gilt dann in der Tat auch [mm]y=f(x_2)[/mm].
> > >
> > > > Wegen der Injektivität
> > > Die versuchst du doch gerade erst zu zeigen!
> > >
> > > > ist dann y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B)
> > >
> > >
> > > Es ist auf alle Fälle [mm]y\in f(A)[/mm] wegen [mm]A=\{x_1\}[/mm] und
> > > [mm]f(x_1)=y[/mm].
> > > Genauso ist [mm]y\in f(B)[/mm].
> > >
> > > Also [mm]y\in f(A)\cap f(B)[/mm].
> > >
> > > Nach [mm]c)[/mm] also [mm]y\in f(A\cap B)[/mm].
> > >
> > > Was bedeutet [mm]y\in f(A\cap B)[/mm] nach Definition von [mm]f(A\cap B)[/mm]?
>
> >
> > >
> > > Was bedeutet das wiederum unter Berücksichtigung von
> > > [mm]A=\{x_1\}[/mm] und [mm]B=\{x_2\}[/mm]?
> >
> > Na ich muss hier festlegen, dass A [mm]\cap[/mm] B [mm]\not= \emptyset.[/mm]
> > Denn wenn es die leere Menge wäre, gäbe es nur entweder y
> > [mm]\in[/mm] A, y [mm]\in[/mm] B oder y ist in keiner Menge.
> > Unter Berücksichtigung von [mm]A=\{x_1\}[/mm] und [mm]B=\{x_2\}[/mm]
> > bedeutet das, dass x1 und x2 sich im Schnitt von A [mm]\cap[/mm] B
> > befinden, da auch y [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B.
> Ich glaube, du meinst das Richtige! Ich würde es so
> aufschreiben:
>
> Wegen [mm]y\in f(A\cap B)[/mm] existiert ein [mm]x\in A\cap B[/mm] mit
> [mm]f(x)=y[/mm].
>
> Wegen [mm]x\in A=\{x_1\}[/mm] gilt [mm]x=x_1[/mm].
> Wegen [mm]x\in B=\{x_2\}[/mm] gilt [mm]x=x_2[/mm].
>
> Also wie gewünscht [mm]x_1=x_2[/mm].
>
>
> > > , da
> > > > x1=x2 [mm]\Rightarrow[/mm] f(x1) = f(x2).
> > > WENN [mm]x_1=x_2[/mm], dann gilt natürlich auch
> [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm].
> > > (Das hat nichts mit Injektivität zu tun.) Wir wollen aber
> > > ja gerade [mm]x_1=x_2[/mm] zeigen.
> > >
> > > > Und insgesamt wurde aus [mm]"\Rightarrow"[/mm] und [mm]"\Leftarrow"[/mm] dann
> > > > folgen, dass
> > > >
> > > > f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) = f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\gdw[/mm] f ist injektiv
> > > Ja. Aber noch hast du keine der beiden Richtungen
> > > vollständig gezeigt.
> >
> > Was fehlt denn bei der anderen Richtung noch?
> Bei [mm]a)\Rightarrow c)[/mm] bisher nur [mm]f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)[/mm]
> für alle [mm]A,B\subseteq X[/mm] gezeigt. Es fehlt noch der Beweis
> der umgekehrten Teilmengenbeziehung [mm]f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)[/mm]
> (unter der Annahme von [mm]a)[/mm], also der Injektivität von [mm]f[/mm]).
Die andere Richtung würde bei mir dann so aussehen:
Wähle y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B), dann existiert [mm] x\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B mit y=f(x).
Da [mm] x\in [/mm] A gilt: y=f(x) [mm] \in [/mm] f(A) und es gilt: y=f(x) [mm] \in [/mm] f(B) und insgesamt
y [mm] \in [/mm] (f(A) [mm] \cap [/mm] f(B))
Somit ist f(x) [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \wedge [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(B)
So in etwa?
Auf jeden Fall nochmal vielen Dank für deine Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Di 30.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > > > Also ist mit [mm]f^{-1}(B):=\{x\in X\;|\;f(x)\in B\}[/mm] das Urbild
> > > > > gemeint?
> > > > Genau.
> > >
> > > Na da [mm]f^{-1}(f(B))=B,[/mm] dann heißt das doch, dass x ins Bild
> > > abgebildet wird und dann ins Urbild.
> > Nicht x wird abgebildet, sondern einer Menge [mm]B[/mm] wird ihr
> > Bild [mm]f(B)[/mm] zugeordnet. Dieser Menge wiederum wird ihr Urbild
> > [mm]f^{-1}(f(B))[/mm] zugeordnet.
> >
> > > Ich kann das doch als
> > > Komposition ansehen vom Bild und vom Urbild oder?
> > Wenn du möchtest kannst du das so sehen. Das heißt
> aber
> > im Allgemeinen noch lange nicht, dass [mm]f^{-1}(f(B))=B[/mm] gilt.
>
> Na laut Aufgabe soll das ja nur für A [mm]\subset[/mm] X gelten.
> Also müsste ich hier auch wieder anfangen mit: Sei x [mm]\in[/mm] A
> aber wie führe ich hier den Beweis?
>
> Zuerst wird ja x ins Bild von f abgebildet und dann ins
> Urbild von [mm]f^{-1}.[/mm] Ist das nicht trivial? Vllt sehe ich das
> auch falsch aber es ist doch egal, welche Menge ich da
> einsetzen würde, da jede Menge immer wieder zum gleichen
> Ergebnis führen würde.
>
> Also: [mm]f^{-1}(f(irgendeine[/mm] Menge))= irgendeine Menge
Du sollst einen Beweis führen, damit Du eben nicht einfach solche i.a.
unsinnigen Behauptungen aufstellst:
Seien [mm] $a,b,c\,$ [/mm] paarweise verschieden. Sei $f [mm] \colon \{a,b,c\} \to \{1,2\}$ [/mm] mit $f(a):=2$ und
$f(b):=2$ und [mm] $f(c):=1\,.$
[/mm]
Dann ist [mm] $f(\{a\})\stackrel{\text{per Def.}}{=}\{f(a)\}=\{2\}\,,$ [/mm] aber [mm] $f^{-1}(f(\{a\}))=f^{-1}(\{2\})=\{a,b\} \not=\{a\}\,.$
[/mm]
Für etwa injektives [mm] $f\,$ [/mm] würde Gleichheit gelten. (Es gilt "immer" [mm] $f(f^{-1}(M)) \subseteq M\,,$ [/mm]
aber eben i.a. nicht [mm] $f^{-1}(f(M)) \subseteq M\,.$ [/mm] Ist aber etwa [mm] $f\,$ [/mm] injektiv, so gilt auch die
letzte Teilmengenbeziehung und damit insgesamt Gleichheit! Aber das alles
sollte man halt auch beweisen (können)!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Di 30.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Bei [mm]a)\Rightarrow c)[/mm] bisher nur [mm]f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)[/mm]
> > für alle [mm]A,B\subseteq X[/mm] gezeigt. Es fehlt noch der Beweis
> > der umgekehrten Teilmengenbeziehung [mm]f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)[/mm]
> > (unter der Annahme von [mm]a)[/mm], also der Injektivität von [mm]f[/mm]).
>
> Die andere Richtung würde bei mir dann so aussehen:
>
> Wähle y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B), dann existiert [mm]x\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B mit
> y=f(x).
>
> Da [mm]x\in[/mm] A gilt: y=f(x) [mm]\in[/mm] f(A) und es gilt: y=f(x) [mm]\in[/mm]
> f(B) und insgesamt
> y [mm]\in[/mm] (f(A) [mm]\cap[/mm] f(B))
Damit hast du erneut [mm] $f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap [/mm] f(B)$ bewiesen. Was noch fehlte und nach wie vor fehlt, ist der Nachweis der umgekehrten Teilmengenbeziehung [mm] $f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap [/mm] B)$.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Di 30.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobias,
> > > Bei [mm]a)\Rightarrow c)[/mm] bisher nur [mm]f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)[/mm]
> > > für alle [mm]A,B\subseteq X[/mm] gezeigt. Es fehlt noch der Beweis
> > > der umgekehrten Teilmengenbeziehung [mm]f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)[/mm]
> > > (unter der Annahme von [mm]a)[/mm], also der Injektivität von [mm]f[/mm]).
> >
> > Die andere Richtung würde bei mir dann so aussehen:
> >
> > Wähle y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B), dann existiert [mm]x\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B mit
> > y=f(x).
> >
> > Da [mm]x\in[/mm] A gilt: y=f(x) [mm]\in[/mm] f(A) und es gilt: y=f(x) [mm]\in[/mm]
> > f(B) und insgesamt
> > y [mm]\in[/mm] (f(A) [mm]\cap[/mm] f(B))
> Damit hast du erneut [mm]f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)[/mm]
> bewiesen. Was noch fehlte und nach wie vor fehlt, ist der
> Nachweis der umgekehrten Teilmengenbeziehung [mm]f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)[/mm].
ich bin mal nett und 'gebe ihm mal einen Anfang':
Sei $y [mm] \in [/mm] (f(A) [mm] \cap f(B))\,.$ [/mm] Dann ist $y [mm] \in [/mm] f(A)$ und auch $y [mm] \in f(B)\,.$ [/mm] (Soweit
dürfte ihm das auch klar sein.) Daher existieren [mm] $x_1 \in [/mm] A$ mit [mm] $f(x_1)=y$ [/mm] und
[mm] $x_2 \in [/mm] B$ mit [mm] $f(x_2)=y$...
[/mm]
(Und erst jetzt wird es "interessant!")
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Di 30.04.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> Hallo Tobias,
>
> > > > Bei [mm]a)\Rightarrow c)[/mm] bisher nur [mm]f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)[/mm]
> > > > für alle [mm]A,B\subseteq X[/mm] gezeigt. Es fehlt noch der Beweis
> > > > der umgekehrten Teilmengenbeziehung [mm]f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)[/mm]
> > > > (unter der Annahme von [mm]a)[/mm], also der Injektivität von [mm]f[/mm]).
> > >
> > > Die andere Richtung würde bei mir dann so aussehen:
> > >
> > > Wähle y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B), dann existiert [mm]x\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B mit
> > > y=f(x).
> > >
> > > Da [mm]x\in[/mm] A gilt: y=f(x) [mm]\in[/mm] f(A) und es gilt: y=f(x) [mm]\in[/mm]
> > > f(B) und insgesamt
> > > y [mm]\in[/mm] (f(A) [mm]\cap[/mm] f(B))
> > Damit hast du erneut [mm]f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)[/mm]
> > bewiesen. Was noch fehlte und nach wie vor fehlt, ist der
> > Nachweis der umgekehrten Teilmengenbeziehung [mm]f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)[/mm].
>
> ich bin mal nett und 'gebe ihm mal einen Anfang':
> Sei [mm]y \in (f(A) \cap f(B))\,.[/mm] Dann ist [mm]y \in f(A)[/mm] und auch
> [mm]y \in f(B)\,.[/mm] (Soweit
> dürfte ihm das auch klar sein.) Daher existieren [mm]x_1 \in A[/mm]
> mit [mm]f(x_1)=y[/mm] und
> [mm]x_2 \in B[/mm] mit [mm]f(x_2)=y[/mm]...
>
> (Und erst jetzt wird es "interessant!")
>
> Gruß,
> Marcel
Dann gehe ich erstmal davon aus, dass A [mm] \cap [/mm] B [mm] \not= \emptyset, [/mm] da x1 [mm] \in [/mm] A und x2 [mm] \in [/mm] B.
Da x1 [mm] \in [/mm] A mit f(x1) = y und x2 [mm] \in [/mm] B mit f(x2) = y, folgere ich daraus, dass
f(x1) = y = f(x2)
also ist x1 = x2 [mm] \Rightarrow [/mm] f(x1) = f(x2) und der Beweis ist fertig. (?)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Di 30.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo Tobias,
> >
> > > > > Bei [mm]a)\Rightarrow c)[/mm] bisher nur [mm]f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)[/mm]
> > > > > für alle [mm]A,B\subseteq X[/mm] gezeigt. Es fehlt noch der Beweis
> > > > > der umgekehrten Teilmengenbeziehung [mm]f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)[/mm]
> > > > > (unter der Annahme von [mm]a)[/mm], also der Injektivität von [mm]f[/mm]).
> > > >
> > > > Die andere Richtung würde bei mir dann so aussehen:
> > > >
> > > > Wähle y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B), dann existiert [mm]x\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B mit
> > > > y=f(x).
> > > >
> > > > Da [mm]x\in[/mm] A gilt: y=f(x) [mm]\in[/mm] f(A) und es gilt: y=f(x) [mm]\in[/mm]
> > > > f(B) und insgesamt
> > > > y [mm]\in[/mm] (f(A) [mm]\cap[/mm] f(B))
> > > Damit hast du erneut [mm]f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)[/mm]
> > > bewiesen. Was noch fehlte und nach wie vor fehlt, ist der
> > > Nachweis der umgekehrten Teilmengenbeziehung [mm]f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)[/mm].
> >
> > ich bin mal nett und 'gebe ihm mal einen Anfang':
> > Sei [mm]y \in (f(A) \cap f(B))\,.[/mm] Dann ist [mm]y \in f(A)[/mm] und
> auch
> > [mm]y \in f(B)\,.[/mm] (Soweit
> > dürfte ihm das auch klar sein.) Daher existieren [mm]x_1 \in A[/mm]
> > mit [mm]f(x_1)=y[/mm] und
> > [mm]x_2 \in B[/mm] mit [mm]f(x_2)=y[/mm]...
> >
> > (Und erst jetzt wird es "interessant!")
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Dann gehe ich erstmal davon aus, dass A [mm]\cap[/mm] B [mm]\not= \emptyset,[/mm]
warum? Es macht Sinn, "o.E." $f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) [mm] \not=\emptyset$ [/mm] anzunehmen! (Warum?)
> da x1 [mm]\in[/mm] A und x2 [mm]\in[/mm] B.
>
> Da x1 [mm]\in[/mm] A mit f(x1) = y und x2 [mm]\in[/mm] B mit f(x2) = y,
> folgere ich daraus, dass
>
> f(x1) = y = f(x2)
> also ist x1 = x2
I.a. würde das nicht folgen - also: Wieso gilt das hier? (Welche Eigenschaft
hat [mm] $f\,$)?
[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x1) = f(x2) und der Beweis
> ist fertig. (?)
Ja, aber es ist nicht besonders ersichtlich aufgeschrieben!
Ich würde es etwa so aufschreiben (neben der ergänzenden Begründung,
warum [mm] $x_1=x_2$ [/mm] oben folgt):
Sei o.E. $f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) [mm] \not=\emptyset$ [/mm] (im Falle $f(A) [mm] \cap f(B)=\emptyset$ [/mm] gilt trivialerweise
$f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) [mm] \subseteq [/mm] f(A [mm] \cap B)\,,$ [/mm] weil...?). Sei $y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap f(B)\,,$ [/mm] dann folgt die Existenz
von (mind. einem) [mm] $x_1 \in [/mm] A$ und (mind. einem) [mm] $x_2 \in [/mm] B$ mit [mm] $f(x_1)=y$ [/mm] und [mm] $f(x_2)=y\,.$
[/mm]
(Mach' Dir bitte klar, dass Du hier nicht $A [mm] \not=\emptyset$ [/mm] und auch nicht
$B [mm] \not=\emptyset$ [/mm] annehmen musst - das folgt schon aus der Annahme, dass
$f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) [mm] \not=\emptyset$!)
[/mm]
Es folgt [mm] $f(x_1)=f(x_2)\,,$ [/mm] (meinetwegen kannst Du auch vorher noch irgendwo
[mm] $f(x_1)=y=f(x_2)$ [/mm] erwähnen!) und weil dies - wegen der ... von [mm] $f\,$ [/mm] - sofort [mm] $x_1=x_2$
[/mm]
impliziert, erkennen wir [mm] $x_1 \in [/mm] A$ und [mm] $\red{x_1}=x_2 \red{\;\in B}\,,$ [/mm] also [mm] $x_1 \in [/mm] A [mm] \cap B\,.$ [/mm] (Natürlich kannst
Du auch nochmal das ganze mit [mm] $x_2$ [/mm] analog durchführen, aber das ist
insofern langweilig, als dass wir eh schon [mm] $x_1=x_2$ [/mm] haben - Du machst da
also nichts wirklich Neues!)
Daher muss [mm] $y=f(x_1) \in \{f(r):\;\; r \in (A \cap B)\}=...$ [/mm] gelten. Da $y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$ (ansonsten)
beliebig war, folgt...
(Insbesondere siehst Du hier: Ist $f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) [mm] \not=\emptyset$ [/mm] und hat [mm] $f\,$ [/mm] die Eigenschaft, ...
zu sein, dann folgt auch $A [mm] \cap [/mm] B [mm] \not=\emptyset$!)
[/mm]
So, diese kleinen Lücken (...) bekommst Du sicher gefüllt, oder?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Mi 01.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> Hallo,
>
> > > Hallo Tobias,
> > >
> > > > > > Bei [mm]a)\Rightarrow c)[/mm] bisher nur [mm]f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)[/mm]
> > > > > > für alle [mm]A,B\subseteq X[/mm] gezeigt. Es fehlt noch der Beweis
> > > > > > der umgekehrten Teilmengenbeziehung [mm]f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)[/mm]
> > > > > > (unter der Annahme von [mm]a)[/mm], also der Injektivität von [mm]f[/mm]).
> > > > >
> > > > > Die andere Richtung würde bei mir dann so aussehen:
> > > > >
> > > > > Wähle y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B), dann existiert [mm]x\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B mit
> > > > > y=f(x).
> > > > >
> > > > > Da [mm]x\in[/mm] A gilt: y=f(x) [mm]\in[/mm] f(A) und es gilt: y=f(x) [mm]\in[/mm]
> > > > > f(B) und insgesamt
> > > > > y [mm]\in[/mm] (f(A) [mm]\cap[/mm] f(B))
> > > > Damit hast du erneut [mm]f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)[/mm]
> > > > bewiesen. Was noch fehlte und nach wie vor fehlt, ist der
> > > > Nachweis der umgekehrten Teilmengenbeziehung [mm]f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)[/mm].
> > >
> > > ich bin mal nett und 'gebe ihm mal einen Anfang':
> > > Sei [mm]y \in (f(A) \cap f(B))\,.[/mm] Dann ist [mm]y \in f(A)[/mm]
> und
> > auch
> > > [mm]y \in f(B)\,.[/mm] (Soweit
> > > dürfte ihm das auch klar sein.) Daher existieren
> [mm]x_1 \in A[/mm]
> > > mit [mm]f(x_1)=y[/mm] und
> > > [mm]x_2 \in B[/mm] mit [mm]f(x_2)=y[/mm]...
> > >
> > > (Und erst jetzt wird es "interessant!")
> > >
> > > Gruß,
> > > Marcel
> >
> >
> > Dann gehe ich erstmal davon aus, dass A [mm]\cap[/mm] B [mm]\not= \emptyset,[/mm]
>
> warum? Es macht Sinn, "o.E." [mm]f(A) \cap f(B) \not=\emptyset[/mm]
> anzunehmen! (Warum?)
>
> > da x1 [mm]\in[/mm] A und x2 [mm]\in[/mm] B.
> >
> > Da x1 [mm]\in[/mm] A mit f(x1) = y und x2 [mm]\in[/mm] B mit f(x2) = y,
> > folgere ich daraus, dass
> >
> > f(x1) = y = f(x2)
>
>
>
> > also ist x1 = x2
>
> I.a. würde das nicht folgen - also: Wieso gilt das hier?
> (Welche Eigenschaft
> hat [mm]f\,[/mm])?
>
> > [mm]\Rightarrow[/mm] f(x1) = f(x2) und der Beweis
> > ist fertig. (?)
>
> Ja, aber es ist nicht besonders ersichtlich
> aufgeschrieben!
>
> Ich würde es etwa so aufschreiben (neben der ergänzenden
> Begründung,
> warum [mm]x_1=x_2[/mm] oben folgt):
> Sei o.E. [mm]f(A) \cap f(B) \not=\emptyset[/mm] (im Falle [mm]f(A) \cap f(B)=\emptyset[/mm]
> gilt trivialerweise
> [mm]f(A) \cap f(B) \subseteq f(A \cap B)\,,[/mm] weil...?). Sei [mm]y \in f(A) \cap f(B)\,,[/mm]
weil die [mm] \emptyset \subseteq [/mm] jeder Menge ist.
> dann folgt die Existenz
> von (mind. einem) [mm]x_1 \in A[/mm] und (mind. einem) [mm]x_2 \in B[/mm] mit
> [mm]f(x_1)=y[/mm] und [mm]f(x_2)=y\,.[/mm]
> (Mach' Dir bitte klar, dass Du hier nicht [mm]A \not=\emptyset[/mm]
> und auch nicht
> [mm]B \not=\emptyset[/mm] annehmen musst - das folgt schon aus der
> Annahme, dass
> [mm]f(A) \cap f(B) \not=\emptyset[/mm]!)
> Es folgt [mm]f(x_1)=f(x_2)\,,[/mm]
> (meinetwegen kannst Du auch vorher noch irgendwo
> [mm]f(x_1)=y=f(x_2)[/mm] erwähnen!) und weil dies - wegen der ...
Injektivität von f
> von [mm]f\,[/mm] - sofort [mm]x_1=x_2[/mm]
> impliziert, erkennen wir [mm]x_1 \in A[/mm] und [mm]\red{x_1}=x_2 \red{\;\in B}\,,[/mm]
> also [mm]x_1 \in A \cap B\,.[/mm] (Natürlich kannst
> Du auch nochmal das ganze mit [mm]x_2[/mm] analog durchführen, aber
> das ist
> insofern langweilig, als dass wir eh schon [mm]x_1=x_2[/mm] haben -
> Du machst da
> also nichts wirklich Neues!)
> Daher muss [mm]y=f(x_1) \in \{f(r):\;\; r \in (A \cap B)\}=...[/mm]
Was sagt mir das r in dieser Notation?
> gelten. Da [mm]y \in f(A) \cap f(B)[/mm] (ansonsten)
> beliebig war, folgt...
> (Insbesondere siehst Du hier: Ist [mm]f(A) \cap f(B) \not=\emptyset[/mm]
> und hat [mm]f\,[/mm] die Eigenschaft, ...
injektiv
> zu sein, dann folgt auch [mm]A \cap B \not=\emptyset[/mm]!)
>
> So, diese kleinen Lücken (...) bekommst Du sicher
> gefüllt, oder?
>
> Gruß,
> Marcel
Danke auf jeden Fall für deine Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > Hallo Tobias,
> > > >
> > > > > > > Bei [mm]a)\Rightarrow c)[/mm] bisher nur [mm]f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)[/mm]
> > > > > > > für alle [mm]A,B\subseteq X[/mm] gezeigt. Es fehlt noch der Beweis
> > > > > > > der umgekehrten Teilmengenbeziehung [mm]f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)[/mm]
> > > > > > > (unter der Annahme von [mm]a)[/mm], also der Injektivität von [mm]f[/mm]).
> > > > > >
> > > > > > Die andere Richtung würde bei mir dann so aussehen:
> > > > > >
> > > > > > Wähle y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B), dann existiert [mm]x\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B mit
> > > > > > y=f(x).
> > > > > >
> > > > > > Da [mm]x\in[/mm] A gilt: y=f(x) [mm]\in[/mm] f(A) und es gilt: y=f(x) [mm]\in[/mm]
> > > > > > f(B) und insgesamt
> > > > > > y [mm]\in[/mm] (f(A) [mm]\cap[/mm] f(B))
> > > > > Damit hast du erneut [mm]f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)[/mm]
> > > > > bewiesen. Was noch fehlte und nach wie vor fehlt, ist der
> > > > > Nachweis der umgekehrten Teilmengenbeziehung [mm]f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)[/mm].
> > > >
> > > > ich bin mal nett und 'gebe ihm mal einen Anfang':
> > > > Sei [mm]y \in (f(A) \cap f(B))\,.[/mm] Dann ist [mm]y \in f(A)[/mm]
> > und
> > > auch
> > > > [mm]y \in f(B)\,.[/mm] (Soweit
> > > > dürfte ihm das auch klar sein.) Daher existieren
> > [mm]x_1 \in A[/mm]
> > > > mit [mm]f(x_1)=y[/mm] und
> > > > [mm]x_2 \in B[/mm] mit [mm]f(x_2)=y[/mm]...
> > > >
> > > > (Und erst jetzt wird es "interessant!")
> > > >
> > > > Gruß,
> > > > Marcel
> > >
> > >
> > > Dann gehe ich erstmal davon aus, dass A [mm]\cap[/mm] B [mm]\not= \emptyset,[/mm]
> >
> > warum? Es macht Sinn, "o.E." [mm]f(A) \cap f(B) \not=\emptyset[/mm]
> > anzunehmen! (Warum?)
> >
> > > da x1 [mm]\in[/mm] A und x2 [mm]\in[/mm] B.
> > >
> > > Da x1 [mm]\in[/mm] A mit f(x1) = y und x2 [mm]\in[/mm] B mit f(x2) = y,
> > > folgere ich daraus, dass
> > >
> > > f(x1) = y = f(x2)
> >
> >
> >
> > > also ist x1 = x2
> >
> > I.a. würde das nicht folgen - also: Wieso gilt das hier?
> > (Welche Eigenschaft
> > hat [mm]f\,[/mm])?
> >
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] f(x1) = f(x2) und der Beweis
> > > ist fertig. (?)
> >
> > Ja, aber es ist nicht besonders ersichtlich
> > aufgeschrieben!
> >
> > Ich würde es etwa so aufschreiben (neben der ergänzenden
> > Begründung,
> > warum [mm]x_1=x_2[/mm] oben folgt):
> > Sei o.E. [mm]f(A) \cap f(B) \not=\emptyset[/mm] (im Falle [mm]f(A) \cap f(B)=\emptyset[/mm]
> > gilt trivialerweise
> > [mm]f(A) \cap f(B) \subseteq f(A \cap B)\,,[/mm] weil...?). Sei [mm]y \in f(A) \cap f(B)\,,[/mm]
>
> weil die [mm]\emptyset \subseteq[/mm] jeder Menge ist.
> > dann folgt die Existenz
> > von (mind. einem) [mm]x_1 \in A[/mm] und (mind. einem) [mm]x_2 \in B[/mm] mit
> > [mm]f(x_1)=y[/mm] und [mm]f(x_2)=y\,.[/mm]
> > (Mach' Dir bitte klar, dass Du hier nicht [mm]A \not=\emptyset[/mm]
>
> > und auch nicht
> > [mm]B \not=\emptyset[/mm] annehmen musst - das folgt schon aus
> der
> > Annahme, dass
> > [mm]f(A) \cap f(B) \not=\emptyset[/mm]!)
> > Es folgt
> [mm]f(x_1)=f(x_2)\,,[/mm]
> > (meinetwegen kannst Du auch vorher noch irgendwo
> > [mm]f(x_1)=y=f(x_2)[/mm] erwähnen!) und weil dies - wegen der ...
>
> Injektivität von f
> > von [mm]f\,[/mm] - sofort [mm]x_1=x_2[/mm]
> > impliziert, erkennen wir [mm]x_1 \in A[/mm] und [mm]\red{x_1}=x_2 \red{\;\in B}\,,[/mm]
> > also [mm]x_1 \in A \cap B\,.[/mm] (Natürlich kannst
> > Du auch nochmal das ganze mit [mm]x_2[/mm] analog durchführen, aber
> > das ist
> > insofern langweilig, als dass wir eh schon [mm]x_1=x_2[/mm] haben -
> > Du machst da
> > also nichts wirklich Neues!)
> > Daher muss [mm]y=f(x_1) \in \{f(r):\;\; r \in (A \cap B)\}=...[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Was sagt mir das r in dieser Notation?
Genau so viel wie jede andere Variable. Du kannst sogar auch $\left\{f\text{(}\right.$): $\left. \in (A \cap B)\}$
schreiben, wenn Du lustig bist...
Und Du kannst diese Menge auch etwa so schreiben
$$\bigcup_{t \in A \cap B}\{f(t)\}\,.$$
Es ist halt die Menge aller Funktionswerte, bei der die Funktionsvariable die
Menge $A \cap B$ durchläuft.
> > gelten. Da [mm]y \in f(A) \cap f(B)[/mm] (ansonsten)
> > beliebig war, folgt...
> > (Insbesondere siehst Du hier: Ist [mm]f(A) \cap f(B) \not=\emptyset[/mm]
> > und hat [mm]f\,[/mm] die Eigenschaft, ...
>
> injektiv
> > zu sein, dann folgt auch [mm]A \cap B \not=\emptyset[/mm]!)
> >
> > So, diese kleinen Lücken (...) bekommst Du sicher
> > gefüllt, oder?
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Danke auf jeden Fall für deine Hilfe.
Gerne.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Mi 01.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B):
Wähle y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B), dann existiert [mm]x\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B mit y=f(x).
Sei [mm]x_1\in[/mm] A. Dann gilt: [mm] y=f(x_1)[/mm] [mm]\in[/mm] f(A) und sei [mm] x_2 \in [/mm] B, dann gilt: [mm] y=f(x_2)[/mm] [mm]\in[/mm] f(B) und insgesamt y [mm]\in[/mm] (f(A) [mm]\cap[/mm] f(B))
Somit ist [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 \Rightarrow f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)
[/mm]
f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) [mm] \subseteq [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B):
Sei [mm]y \in (f(A) \cap f(B))\,.[/mm] Dann ist [mm]y \in f(A)[/mm] und auch [mm]y \in f(B)\,.[/mm] Daher existieren [mm]x_1 \in A[/mm]
mit [mm]f(x_1)=y[/mm] und
[mm]x_2 \in B[/mm] mit [mm]f(x_2)=y[/mm]
Ist [mm]f(A) \cap f(B) \not=\emptyset[/mm] (im Falle [mm]f(A) \cap f(B)=\emptyset[/mm] gilt, dass
[mm]f(A) \cap f(B) \subseteq f(A \cap B)\,,[/mm] weil [mm] \emptyset \in [/mm] jeder Menge ist.
Sei [mm]y \in f(A) \cap f(B)\,,[/mm]
dann folgt die Existenz
von (mind. einem) [mm]x_1 \in A[/mm] und (mind. einem) [mm]x_2 \in B[/mm] mit
[mm]f(x_1)=y[/mm] und [mm]f(x_2)=y\,.[/mm]
Es folgt [mm]f(x_1)=f(x_2)\,,[/mm] und das impliziert wegen der Injektivität
von [mm]f\,[/mm] - sofort [mm]x_1=x_2[/mm].
Man erkennt [mm]x_1 \in A[/mm] und [mm]\red{x_1}=x_2 \red{\;\in B}\,,[/mm]
also [mm]x_1 \in A \cap B\,.[/mm]
Somit ist auch y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B)
Da nun f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) [mm] \subseteq [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) [mm] \Rightarrow [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) = f(A [mm] \cap [/mm] B)
Somit gilt: f injektiv [mm] \gdw [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) = f(A [mm] \cap [/mm] B).
Ist das dann soweit richtig?
zu f injektiv [mm] \gdw f^{-1}(f(A))=A
[/mm]
Sei x [mm] \in [/mm] A. Zu zeigen ist, dass x [mm] \in f^{-1}(f(A))
[/mm]
Da x in das Bild von A abgebildet wird, gilt f(x) [mm] \in [/mm] f(A).
Da x Urbild von f(x) ist x [mm] \in f^{-1}(f(A))
[/mm]
[mm] \Rightarrow: [/mm] Sei x [mm] \in f^{-1}(f(A)). [/mm] Zu zeigen: x [mm] \in [/mm] A
Da x im Urbild von f(A), ist f(x) [mm] \f(A).
[/mm]
Es existiert zu f(x) ein Urbild in A, somit gibt es ein y [mm] \in [/mm] A mit f(y)=f(x).
Da f injektiv ist, gilt x=y, also ist x [mm] \in [/mm] A.
[mm] \Leftarrow: [/mm] Gelte für [mm] \forall [/mm] A [mm] \subset [/mm] X, A = [mm] f^{-1}(f(A))
[/mm]
Seien x,y [mm] \in [/mm] X mit f(x)=f(y). Z.z.: x=y
{x} [mm] \subset [/mm] x, also [mm] {x}=f^{-1}(f{x})= f^{-1}({f(x)}) [/mm] mit x,y als Element
Damit ist x=y und f injektiv.
b [mm] \gdw [/mm] a [mm] \gdw [/mm] c
Ist das so alles richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich sag' momentan nur mal kurz was zu den Anfängen:
> f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\subseteq[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B):
> Wähle y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B),
Dafür sollte o.E. $f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \not=\emptyset$ [/mm] sein! (Nebenbei: Es gilt $A [mm] \cap [/mm] B [mm] \not=\emptyset \iff [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \not=\emptystet.$ [/mm] Warum?)
> dann existiert [mm]x\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B mit
> y=f(x).
>
> Sei [mm]x_1\in[/mm] A. Dann gilt: [mm]y=f(x_1)[/mm] [mm]\in[/mm] f(A) und sei [mm]x_2 \in[/mm]
> B,
> dann gilt: [mm]y=f(x_2)[/mm] [mm]\in[/mm] f(B) und
Meinst Du das in diesem Sinne: Für alle [mm] $x_1 \in [/mm] A$ gilt [mm] $f(x_1) \in [/mm] f(A)$ und
für alle [mm] $x_2 \in [/mm] B$ gilt [mm] $f(x_2) \in f(B)\,,$ [/mm] und weil unser [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $y=f(x)\,$ [/mm] sowohl
$x [mm] \in [/mm] A$ als auch $x [mm] \in [/mm] B$ erfüllt, folgt
> insgesamt y [mm]\in[/mm] (f(A)
> [mm]\cap[/mm] f(B))
> Somit ist [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2 [/mm]
Was sollen denn jetzt das [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] hier?
> [mm]\Rightarrow f(x_1)[/mm] = [mm]f(x_2)[/mm]
Was machst Du denn hier??
Weiter geht's oben so: Und da $y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B)$ beliebig war, folgt
$$f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] (f(A) [mm] \cap f(B))\,.$$
[/mm]
Nun zu
> f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) [mm]\subseteq[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B):
>
> Sei [mm]y \in (f(A) \cap f(B))\,.[/mm] Dann ist [mm]y \in f(A)[/mm] und auch
> [mm]y \in f(B)\,.[/mm] Daher existieren [mm]x_1 \in A[/mm]
> mit [mm]f(x_1)=y[/mm] und
> [mm]x_2 \in B[/mm] mit [mm]f(x_2)=y[/mm]
>
> Ist [mm]f(A) \cap f(B) \not=\emptyset[/mm] (im Falle [mm]f(A) \cap f(B)=\emptyset[/mm]
> gilt, dass
> [mm]f(A) \cap f(B) \subseteq f(A \cap B)\,,[/mm] weil [mm]\emptyset \in[/mm]
> jeder Menge ist.
Nö: [mm] $\emptyset$ [/mm] ist z.B. [mm] $\notin \emptyset\,.$ [/mm] Da gehört nicht [mm] $\in\,,$ [/mm] sondern [mm] $\subseteq$ [/mm] hin!
Und wieso erwähnst Du das hier? Es wäre sinnvoll, BEVOR Du $y [mm] \in [/mm] (f(A) [mm] \cap [/mm] f(B))$
schreibst, zu erwähnen, dass o.E. $f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) [mm] \not=\emptyset$ [/mm] sein sollte!
Hier wird sich jeder fragen, wieso das mittendrin steht! (Ich hab's in der
"Vorlage" übrigens auch am Anfang und nicht mittendrin stehen!) Und es
ist sinnvoll, dass VORHER zu schreiben, damit man sieht, warum Du
überhaupt ein $y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$ hernehmen kannst!
> Sei [mm]y \in f(A) \cap f(B)\,,[/mm]
Schon wieder? Ahhhh... ich glaub', ich sehe, was passiert ist: Du hast was
zusammenkopiert und vergessen, Teile wegzuschneiden - also alles vor dem
"Ist $f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) [mm] \not=\emptyset$ [/mm] (im Falle...)" ist bei diesem Beweisteil einfach nur zu
entfernen...
> dann folgt die Existenz
> von (mind. einem) [mm]x_1 \in A[/mm] und (mind. einem) [mm]x_2 \in B[/mm] mit
> [mm]f(x_1)=y[/mm] und [mm]f(x_2)=y\,.[/mm]
>
> Es folgt [mm]f(x_1)=f(x_2)\,,[/mm] und das impliziert wegen der
> Injektivität
> von [mm]f\,[/mm] - sofort [mm]x_1=x_2[/mm].
> Man erkennt [mm]x_1 \in A[/mm] und [mm]\red{x_1}=x_2 \red{\;\in B}\,,[/mm]
> also [mm]x_1 \in A \cap B\,.[/mm]
>
> Somit ist auch y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B)
>
>
> Da nun f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) [mm]\subseteq[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] f(A [mm]\cap[/mm]
> B) [mm]\subseteq[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) [mm]\Rightarrow[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) =
> f(A [mm]\cap[/mm] B)
>
> Somit gilt: f injektiv [mm]\gdw[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) = f(A [mm]\cap[/mm] B).
>
> Ist das dann soweit richtig?
Soweit ich das überblicke: Wenn Du die "Verwirrungen" mit dem [mm] $x_1,x_2$
[/mm]
im ersten Teil korrigierst, und im zweiten Teil das doppelt Erwähnte Zeugs
nur einmal vernünftig hinschreibst, schon!
Über den Rest kann ggf. mal jmd. anderes gucken, der/die Zeit und Lust
hat!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Mi 01.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel,
> > f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\subseteq[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B):
>
> > Wähle y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B),
>
> Dafür sollte o.E. [mm]f(A \cap B) \not=\emptyset[/mm] sein!
Das halte ich für einen überflüssigen Schlenker.
Es gibt in der Mathematik zwei Arten von "Sei $y$ ..." in Beweisen:
1. Zu Hilfszwecken wird ein $y$ gewählt, das für den Beweis benötigt wird.
2. Es soll eine Aussage über ALLE $y$ gezeigt werden. Dazu nimmt man sich ein beliebig vorgegebenes $y$ her und zeigt die Aussage für dieses $y$.
Ich bevorzuge es, im 2. Fall "Sei $y$ ..." und im 1. Fall "Wir wählen ein $y$ ..." zu schreiben.
Bei kRAITOS liegt der 2. Fall vor (obwohl er/sie ungünstigerweise "wähle" statt "sei" schreibt).
Im 1. Fall muss sichergestellt sein, dass ein solches $y$ existiert. Im 2. Fall spielt das keine Rolle.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> Hallo Marcel,
>
>
> > > f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\subseteq[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B):
> >
> > > Wähle y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B),
> >
> > Dafür sollte o.E. [mm]f(A \cap B) \not=\emptyset[/mm] sein!
> Das halte ich für einen überflüssigen Schlenker.
>
>
> Es gibt in der Mathematik zwei Arten von "Sei [mm]y[/mm] ..." in
> Beweisen:
> 1. Zu Hilfszwecken wird ein [mm]y[/mm] gewählt, das für den
> Beweis benötigt wird.
> 2. Es soll eine Aussage über ALLE [mm]y[/mm] gezeigt werden. Dazu
> nimmt man sich ein beliebig vorgegebenes [mm]y[/mm] her und zeigt
> die Aussage für dieses [mm]y[/mm].
ist mir schon klar: Wenn's keins gibt, habe ich auch nichts zu zeigen.
> Ich bevorzuge es, im 1. Fall "Sei [mm]y[/mm] ..." und im 2. Fall
> "Wir wählen ein [mm]y[/mm] ..." zu schreiben.
>
> Bei kRAITOS liegt der 2. Fall vor (obwohl er/sie
> ungünstigerweise "wähle" statt "sei" schreibt).
>
> Im 1. Fall muss sichergestellt sein, dass ein solches [mm]y[/mm]
> existiert. Im 2. Fall spielt das keine Rolle.
Es macht - gerade bei Anfängern - nichts, das "in überflüssiger Weise"
zu ergänzen. Natürlich kannst Du sagen, wenn es ein solches Element
nicht gibt, werde ich, wenn ich eins wählen will, nichts finden, über das
ich etwas aussagen könnte. Im übrigen hat dieses "wir wählen ein beliebiges
Element" eigentlich die gleiche Bedeutung wie "sei ein beliebiges hergenommen".
Oder wie willst Du sonst erklären, wenn Dich jemand fragt: "Was meinen Sie damit,
dass das "sei"?" Das "Wählen" hat nur den Nachteil, dass es ans Auswahlaxiom
erinnert. Deswegen vermeide ich es auch, das zu schreiben. Andernfalls können
wir's halt so formulieren:
"Für jedes $y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B)$ gilt, dass es zu diesem [mm] $y\,$ [/mm] ein [mm] $x\,$ [/mm] gibt mit ..."
Wie man's macht: Alles hat seine Vor- und Nachteile. Für Dich ist das "sei..." halt
eigentlich nur verkürzend für das, was ich zuletzt in Anführungszeichen hier stehen
habe. Aber wenn ich sage "Sei [mm] $y\,$...", [/mm] dann meine ich doch eigentlich "Sei ein
[mm] $y\,$ [/mm] hergenommen (wenn es denn eins gibt)..."
Wie dem auch "sei", ich hab's nun halt auch so geschrieben und da es nicht falsch
ist, finde ich's auch nicht schlimm, dass es nun so da steht. 
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Mi 01.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
> > Es gibt in der Mathematik zwei Arten von "Sei [mm]y[/mm] ..." in
> > Beweisen:
> > 1. Zu Hilfszwecken wird ein [mm]y[/mm] gewählt, das für den
> > Beweis benötigt wird.
> > 2. Es soll eine Aussage über ALLE [mm]y[/mm] gezeigt werden.
> Dazu
> > nimmt man sich ein beliebig vorgegebenes [mm]y[/mm] her und zeigt
> > die Aussage für dieses [mm]y[/mm].
>
> ist mir schon klar: Wenn's keins gibt, habe ich auch nichts
> zu zeigen.
>
> > Ich bevorzuge es, im 1. Fall "Sei [mm]y[/mm] ..." und im 2. Fall
> > "Wir wählen ein [mm]y[/mm] ..." zu schreiben.
Hier hatte ich leider einen "Dreher" drin. Es sollte heißen: "Im 2. Fall 'Sei $y$...' und im 1. Fall 'Wir wählen ein $y$'"
> > Bei kRAITOS liegt der 2. Fall vor (obwohl er/sie
> > ungünstigerweise "wähle" statt "sei" schreibt).
> >
> > Im 1. Fall muss sichergestellt sein, dass ein solches [mm]y[/mm]
> > existiert. Im 2. Fall spielt das keine Rolle.
>
> Es macht - gerade bei Anfängern - nichts, das "in
> überflüssiger Weise"
> zu ergänzen. Natürlich kannst Du sagen, wenn es ein
> solches Element
> nicht gibt, werde ich, wenn ich eins wählen will, nichts
> finden, über das
> ich etwas aussagen könnte. Im übrigen hat dieses "wir
> wählen ein beliebiges
> Element" eigentlich die gleiche Bedeutung wie "sei ein
> beliebiges hergenommen".
"wir wählen ein beliebiges Element" würde ich nur im Fall 1. schreiben (denn im 2. Fall trifft man ja gerade keine Auswahl, sondern möchte das Element "beliebig halten"). "sei ein beliebiges Element hergenommen" kann für mich beides heißen.
> Oder wie willst Du sonst erklären, wenn Dich jemand
> fragt: "Was meinen Sie damit,
> dass das "sei"?"
Mit "sei y..." ist gemeint, dass im Folgenden unter der Zusatzvoraussetzung "y..." gearbeitet wird.
Im 1. Fall ist die Zusatzvoraussetzung durch die Existenz eines solchen Objektes $y$ gerechtfertigt. Trotz Zusatzvoraussetzung gilt alles im Folgenden Bewiesene, in dem $y$ nicht vorkommt, auch ohne diese Zusatzvoraussetzung.
Im 2. Fall wird die Aussage über ALLE $y$ mit "..." gerade dadurch gezeigt, dass jedes beliebig vorgegebene $y$ mit "..." der Aussage genügt. Alles unter dieser Zusatzvoraussetzung "y..." Bewiesene ist auch nur unter dieser Zusatzvoraussetzung gezeigt.
Die beiden Fälle haben also sehr unterschiedliche Bedeutungen.
> Das "Wählen" hat nur den Nachteil, dass
> es ans Auswahlaxiom
> erinnert. Deswegen vermeide ich es auch, das zu schreiben.
> Andernfalls können
> wir's halt so formulieren:
> "Für jedes [mm]y \in f(A \cap B)[/mm] gilt, dass es zu diesem [mm]y\,[/mm]
> ein [mm]x\,[/mm] gibt mit ..."
>
> Wie man's macht: Alles hat seine Vor- und Nachteile. Für
> Dich ist das "sei..." halt
> eigentlich nur verkürzend für das, was ich zuletzt in
> Anführungszeichen hier stehen
> habe. Aber wenn ich sage "Sei [mm]y\,[/mm]...", dann meine ich doch
> eigentlich "Sei ein
> [mm]y\,[/mm] hergenommen (wenn es denn eins gibt)..."
Wenn ich im 2. Fall "Sei y..." sage, denke ich nicht an "wenn es denn eins gibt". Aber natürlich darfst du daran denken...
(Natürlich ist die Existenz eines $y$ mit "..." eine triviale Schlussfolgerung aus "$y...$". Aber sie gilt eben nur unter der Zusatzvoraussetzung "$y...$".)
> Wie dem auch "sei", ich hab's nun halt auch so geschrieben
> und da es nicht falsch
> ist, finde ich's auch nicht schlimm, dass es nun so da
> steht.
Nein, falsch ist es natürlich nicht (zumindest solange du im Fall 2. noch Beweise ohne separate Betrachtung des Falles, dass kein $y...$ existiert, akzeptierst)!
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Do 02.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> zu f injektiv [mm]\gdw f^{-1}(f(A))=A[/mm]
>
>
> Sei x [mm]\in[/mm] A. Zu zeigen ist, dass x [mm]\in f^{-1}(f(A))[/mm]
>
> Da x in das Bild von A abgebildet wird, gilt f(x) [mm]\in[/mm]
> f(A).
> Da x Urbild von f(x) ist x [mm]\in f^{-1}(f(A))[/mm]
> [mm]\Rightarrow:[/mm] Sei x [mm]\in f^{-1}(f(A)).[/mm] Zu zeigen: x [mm]\in[/mm] A
>
> Da x im Urbild von f(A), ist f(x) [mm]f(A).[/mm]
> Es existiert zu f(x) ein Urbild in A, somit gibt es ein y
> [mm]\in[/mm] A mit f(y)=f(x).
> Da f injektiv ist, gilt x=y, also ist x [mm]\in[/mm] A.
> [mm]\Leftarrow:[/mm] Gelte für [mm]\forall[/mm] A [mm]\subset[/mm] X, A =
> [mm]f^{-1}(f(A))[/mm]
>
> Seien x,y [mm]\in[/mm] X mit f(x)=f(y). Z.z.: x=y
>
> {x} [mm]\subset[/mm] x, also [mm]{x}=f^{-1}(f{x})= f^{-1}({f(x)})[/mm] mit
> x,y als Element
Was meinst du mit "mit x,y als Element"?
Vermutlich meinst du:
[mm] $\{x\}=f^{-1}(f(\{x\}))=f^{-1}(\{f(x)\})=f^{-1}(\{f(y)\})=f^{-1}(f(\{y\}))=\{y\}$.
[/mm]
> Damit ist x=y und f injektiv.
|
|
|
|
