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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Di 29.05.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Wieviele mögliche "Worte" (=Buchstabenanordnungen) kann man aus [mm] A,B,\ldots, [/mm] F bilden, sodass nichtmal paarweise alphabetische Reihenfolge vorliegt, d.h. niemals B auf A, niemals C auf B,... , niemals F auf E folgt ? |
Ansatzidee: Inklusion - Exklusion
Sei [mm] $U_{AB} [/mm] $ die Menge aller Permutationen, wo $B$ direkt auf $A,... [mm] U_{EF}$ [/mm] die Menge aller Permutationen, wo $F$ direkt auf $E$ folgt.
Somit lässt sich Inklusion-Exklusion direkt anwenden und man erhält:
[mm] $\cup [/mm] U = [mm] {5\choose 1 }4! [/mm] - [mm] {5\choose 2 } [/mm] 3! - [mm] {5\choose 3 }2! [/mm] - [mm] 5\cdot [/mm] 1! + 1 = 76 $
Um das gewünschte Ergebnis zu bekommen, reicht es ersichtlich aus von der Kardinalität der Menge ALLER Permutation zu subtrahieren: $6! - 76 = 644.$
Damit gibt es genau 644 Permutationen von $(A,B,C,D,E,F)$ mit nichtmal paarweise alphabetischer Anordnung.
Bin ich richtig vorgegangen? Also das Ansatztechnische scheint zu stimmen, wenn ich mich irgendwo geirrt habe, dann habe ich mich verrechnet. Oder kann mir jemand einen Denkfehler nachweisen?
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Hallo,
> Wieviele mögliche "Worte" (=Buchstabenanordnungen) kann
> man aus [mm]A,B,\ldots,[/mm] F bilden, sodass nichtmal paarweise
> alphabetische Reihenfolge vorliegt, d.h. niemals B auf A,
> niemals C auf B,... , niemals F auf E folgt ?
>
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> Ansatzidee: Inklusion - Exklusion
>
> Sei [mm]U_{AB}[/mm] die Menge aller Permutationen, wo [mm]B[/mm] direkt auf
> [mm]A,... U_{EF}[/mm] die Menge aller Permutationen, wo [mm]F[/mm] direkt auf
> [mm]E[/mm] folgt.
> Somit lässt sich Inklusion-Exklusion direkt anwenden und man erhält:
> [mm]\cup U = {5\choose 1 }4! - {5\choose 2 } 3! - {5\choose 3 }2! - 5\cdot 1! + 1 = 76[/mm]
Das stimmt nicht.
Es gibt 5*4! Permutationen mit B nach A. (5 Möglichkeiten Position von A, 4! die restlichen 4 Elemente aufzuteilen). Analog gibt es 5*4! Möglichkeiten für C nach B, etc.
Permutationen mit 3 Buchstaben in richtiger Reihenfolge (ABC, BCD, CDE, DEF) wurden doppelt gezählt -> Abziehen.
Dann wurden Permutationen mit 4 Buchstaben in richtiger Reihenfolge (ABCD, BCDE, CDEF) zu viel abgezogen -> Addieren.
Permutationen mit 5 Buchstaben in richtiger Reihenfolge[...] -> Abziehen
Permutationen mit 6 Buchstaben in richtiger Reihenfolge[...] -> Addieren
Rechne also nochmal nach.
LG
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> Um das gewünschte Ergebnis zu bekommen, reicht es
> ersichtlich aus von der Kardinalität der Menge ALLER
> Permutation zu subtrahieren: [mm]6! - 76 = 644.[/mm]
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> Damit gibt es genau 644 Permutationen von [mm](A,B,C,D,E,F)[/mm] mit
> nichtmal paarweise alphabetischer Anordnung.
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> Bin ich richtig vorgegangen? Also das Ansatztechnische
> scheint zu stimmen, wenn ich mich irgendwo geirrt habe,
> dann habe ich mich verrechnet. Oder kann mir jemand einen
> Denkfehler nachweisen?
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