Inklusionen Lp- und lp-Räume < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:40 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Blueman |
Hallo
Bekanntlich gilt ja für q > p: [mm] L^q \subseteq L^p
[/mm]
Das würde ich gerne beweisen. Was ich zeigen kann, ist [mm] L^p \subseteq L^1 \forall [/mm] p > 1 denn nach der Hölder Ungleichung gilt ja [mm] ||f||_1 \le ||f||_p*||1||q \le \infty [/mm] wobei das auch nur auf beschränkten Gebieten gilt.. :-(
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Für [mm] l^p [/mm] Räume gilt umgekehrt q > p [mm] \Rightarrow l^q \supseteq l^p. [/mm]
Da stellt sich mir auch die Frage, wie man das beweist.
Bitte dringend um Hilfe, habe demnächst eine Prüfung wo ich das bestimmt wissen muss.
Viele Grüße,
Blueman
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:34 Sa 25.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Für [mm]l^p[/mm] Räume gilt umgekehrt q > p [mm]\Rightarrow l^q \supseteq l^p.[/mm]
> Da stellt sich mir auch die Frage, wie man das beweist.
Wenn [mm] $\sum_{k=0}^\infty |a_k|^p [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] ist, dann ist hoechstens fuer endlich viele $k$ [mm] $|a_k| \ge [/mm] 1$. Und falls [mm] $|a_k| [/mm] < 1$ ist, ist [mm] $|a_k|^q \le |a_k|^p$, [/mm] also kannst du das Majorantenkriterium benutzen.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Blech |
> Hallo
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> Bekanntlich gilt ja für q > p: [mm]L^q \subseteq L^p[/mm]
> Das
> würde ich gerne beweisen. Was ich zeigen kann, ist [mm]L^p \subseteq L^1 \forall[/mm]
[mm] $f(x):=\frac1{\sqrt{x}}\mathnormal{1}_{(0,1)}(x)$
[/mm]
und
[mm] $g(x):=\frac1x \mathnormal{1}_{(1,\infty)}(x)$
[/mm]
f ist in [mm] $L^1$, [/mm] aber nicht [mm] $L^2$, [/mm] g ist in [mm] $L^2$, [/mm] aber nicht [mm] $L^1.$
[/mm]
Es gilt: Es gibt 2 Möglichkeiten aus [mm] $L^p$ [/mm] rauszufallen, entweder zu fette tails (d.h. wird nicht schnell genug klein genug in Richtung Unendlichkeit), oder die Funktion ist irgendwo nicht beschränkt.
Dementsprechend gibt es 2 Inklusionen:
[mm] $L^q\subseteq L^p$ [/mm] gilt, wenn das Maß, bzgl. dem wir das alles definieren, endlich ist. Hier kümmert sich das Maß um die tails. Beweis erfolgt z.B. über die Jensensche Ungleichung mit der konvexen Funktion [mm] $\phi(x):= x^{q/p}.$
[/mm]
[mm] $L^p\subseteq L^q$, [/mm] wenn es keine Nicht-Nullmengen mit beliebig kleinem Maß gibt. Beispiel ist hier [mm] $l^p;$ [/mm] die Folgenglieder sind zwangsläufig beschränkt, weil die kleinste Nicht-Nullmenge 1 Folgenglied ist, und das hat Maß 1.
ciao
Stefan
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