Insekteneier und Poisson < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Do 11.05.2006 | | Autor: | Speyer |
| Aufgabe | Die Anzahl der Eier eines Insekts sei eine Poisson-verteilte Zufallsvariable
zum Parameter [mm] \lambda. [/mm] Aus jedem Ei entwickelt sich unabh¨angig voneinander
jeweils mit Wahrscheinlichkeit p ein neues Insekt. Was ist dann die
Verteilung der Gesamtzahl der Nachkommen? |
absolut keinen plan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Do 11.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Wenn
$X$ ... Anzahl der Eier
$Y$ ... Anzahl der Insekten
sind, dann besteht der Zusammenhang [mm] $Y\sim [/mm] B(X,p)$, also eine Mischungsverteilung. Die Einzelwahrscheinlichkeiten für $Y$ berechnen sich dann gemäß
$$P(Y=k) = [mm] \sum\limits_{n=k}^{\infty} [/mm] ~ P(Y=k,X=n) = [mm] \sum\limits_{n=k}^{\infty} [/mm] ~ P(Y=k [mm] \bigm| X=n)\cdot [/mm] P(X=n)$$
P.S.: Es gibt auch andere Lösungsmöglichkeiten (erzeugende Funktionen, etc.), aber das hier ist die "elementarste".
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Do 11.05.2006 | | Autor: | Speyer |
mhm, so wie du das gemacht hast, gehst du doch von einer Binomial-Verteilung aus, oder ?
gefordert war doch aber Poisson und die Ausarbeitung des Zusammenhangs mit [mm] \lambda...
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Do 11.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Nein, du hast meinen Beitrag nicht verstanden.
Die bedingte Verteilung der Insektenanzahl $Y$, unter der Bedingung $X=n$ Eier, ist binomialverteilt $B(n,p)$. Das ist keine Willkür, sondern ergibt sich aus dem Sachverhalt!!!
Also ist $P(Y=k [mm] \bigm| [/mm] X=n) = {n [mm] \choose k}p^k(1-p)^{n-k}$, [/mm] sowie für $X$ die Poissonverteilung [mm] $P(X=n)=\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}$. [/mm] Beides in obige Formel der totalen Wkt. eingesetzt ergibt die Verteilung von $X$.
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