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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Fr 14.12.2007 | | Autor: | Marty |
| Aufgabe | Es sei [mm] f_n(x):= \bruch{sin(x^n)}{x^n}\bruch{1}{1+x^2} [/mm] , für [mm] x\in (0,\infty) [/mm] und [mm] n\in\IN.
[/mm]
a) Berechnen Sie den Limes von [mm] f_n(x) [/mm] , wenn n gegen Unendlich konvergiert.
b) Finden Sie [mm] f\in L^1 (\IR^+), [/mm] sodass [mm] |f_n(x)| \le [/mm] f(x) fast überall.
c) Berechnen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{\infty}{f_n(x) dx}.
[/mm]
d) Zeigen Sie, dass [mm] |sin(t)|\le|t| [/mm] , für [mm] t\in\IR. [/mm] |
Hallo Leute!
Mit dieser Aufgabe bin ich schon (fast) fertig. Es wäre schön, wenn sich jemand meine Lösungen durchsehen könnte.
a) Der grenzwert von sin ist zwar nicht definiert, aber ich weiß, dass gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(x)}{x} [/mm] = 0
In Wenn ich nun in meiner Funktion n gegen [mm] \infty [/mm] gehen lasse, geht auch [mm] x^n [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] , also bekomme ich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x) [/mm] = 0
b) Da [mm] |\bruch{sin(x^n)}{x^n}| [/mm] nicht größer als 1 werden kann , habe ich als Majorante [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] gewählt:
[mm] |f_n(x)| [/mm] = [mm] |\bruch{sin(x^n)}{x^n}\bruch{1}{1+x^2}| \le \bruch{1}{1+x^2} [/mm] = f(x)
c) Nach dem Satz von Levi darf ich jetzt den Limes mit dem Integral vertauschen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{\infty}{f_n(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}0dx [/mm] = 0
Stimmt das bisher alles?
d) Mir ist zwar klar, dass [mm] |sin(t)|\le|t| [/mm] stimmen muss, aber ich weiß nicht, wie ich das zeigen kann.
Ich habe schon versucht sin(x) unzuformen:
[mm] |sin(t)|=|\wurzel{1-cos^2(x)}| [/mm] usw. das hilft mir aber alles nicht weiter.
Hat jemand eine Idee?
Gruß
Marty
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Fr 14.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) dein Argument gilt nur für x>1 für x<1 geht [mm] 1/x^n [/mm] gegen 0 auch hier auf d) achten!
b) gilt ohne weitere Annahme nur so für x>1 aber betrachte Aufgabe d)
d) betrachte die Fkt f(t)=|t|-|sint| f(0)=0 f'(t)>0 für [mm] 0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Fr 14.12.2007 | | Autor: | Marty |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!!
> d) betrachte die Fkt f(t)=|t|-|sint| f(0)=0 f'(t)>0 für
> [mm]0
> Gruss leduart
>
Hast du das so gemeint?:
f'(t) = [mm] \bruch{f(t)-f(0)}{t-0} [/mm]
f'(t) = [mm] \bruch{|t|-|sint|}{|t|} [/mm] = [mm] 1-\bruch{|sint|}{|t|}
[/mm]
da f'(t)>0
[mm] \Rightarrow1-\bruch{|sint|}{|t|}>0
[/mm]
[mm] \Rightarrow1>\bruch{|sint|}{|t|}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |t|>|sint|
Wie hilft mir das jetzt bei den anderen Teilaufgaben weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Fr 14.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Vielen Dank für die schnelle Hilfe!!
>
> > d) betrachte die Fkt f(t)=|t|-|sint| f(0)=0 f'(t)>0 für
> > [mm]0
> > Gruss leduart
> >
>
> Hast du das so gemeint?:
>
> f'(t) = [mm]\bruch{f(t)-f(0)}{t-0}[/mm]
Das hab ich sicher nicht gemeint! nur der lim ist f'!
sonst ist es die Sekantensteigung! einer Sekante durch 0
Habt ihr den Mittelwertsatz gehabt?
den brauchst du, um aus f(0)=0 unf f'>0 auf f>0 zu schliessen.
in den ersten Teilen hast du dann [mm] |sinx^n/x^n|\le1 [/mm] wenn du [mm] x^n=t [/mm] nimmst
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Fr 14.12.2007 | | Autor: | Marty |
> Hallo
> > Vielen Dank für die schnelle Hilfe!!
> >
> > > d) betrachte die Fkt f(t)=|t|-|sint| f(0)=0 f'(t)>0 für
> > > [mm]0
> > > Gruss leduart
> > >
> >
> > Hast du das so gemeint?:
> >
> > f'(t) = [mm]\bruch{f(t)-f(0)}{t-0}[/mm]
> Das hab ich sicher nicht gemeint! nur der lim ist f'!
> sonst ist es die Sekantensteigung! einer Sekante durch 0
> Habt ihr den Mittelwertsatz gehabt?
> den brauchst du, um aus f(0)=0 unf f'>0 auf f>0 zu
> schliessen.
> in den ersten Teilen hast du dann [mm]|sinx^n/x^n|\le1[/mm] wenn
> du [mm]x^n=t[/mm] nimmst
>
> Gruss leduart
Den Mittelwertsatz habe ich mir aus einem Buch herausgesucht.
Darin steht in etwa: [mm] f'(\epsilon) [/mm] = [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a} [/mm] für [mm] \epsilon \in(a,b)
[/mm]
Habe ich das falsch angewendet?
nochmal zur a)
hier brauche ich wohl eine Fallunterscheidung:
für x>1 gilt wie ich vorher geschrieben habe [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=0
[/mm]
für 0<x<1 geht [mm] x^n [/mm] gegen 0 , also gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sinx^n}{x^n} [/mm] = 1
[mm] \Rightarrow\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=\bruch{1}{1+x^2}
[/mm]
Stimmt das jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Fr 14.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt ist a) richtig,
der MWS sagt im Prinzip, dass es zu jeder Sehne ne Parallele Tangente gibt.
da die Tangenten alle Steigung > 0 haben, also auch die Sehnen. damit ist f(t)>f(0) also [mm] f(t)\ge0
[/mm]
(Du hattest den Wert, der jetzt [mm] \epsilon [/mm] heisst einfach b gesetzt , das war falsch.)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Fr 14.12.2007 | | Autor: | Marty |
Vielen Dank nochmal!!
Ich hätte jetzt aber noch Fragen zur b) und c):
bei der b) hattest du vorhin geschrieben, dass meine Majorante nicht für x<1 gilt. Jetzt habe ich einfach ein Paar Werte eingesetzt und jedesmal hat es gepasst! Wieso stimmt die Majorante dann nicht?
bei der c) muss ich dann auch zwei Integrale bilden?:
einmal für x>1 [mm] \integral_{0}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}0dx [/mm] = 0
und für x<1: [mm] \integral_{0}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}\bruch{1}{1+x^2} [/mm] = [mm] [arctanx]_{0}^{\infty} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Stimmt das jetzt auch?
Gruß
Marty
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Fr 14.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
b) ist richtig, wenn du dich für x<1 auf d) beziehst!
c) musst du das Integral aufspalten, von 0 bis 1 plus von 1 bis Unendlich!
du kannst ja nicht mit f das nur für x<1 gilt bis [mm] \infty [/mm] rechnen!
Gruss leduart
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