Integral < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe hier 2 Integrale, die man laut der Aufgabe in meinem Buch eigentlich per Hand ausrechnen sollte. Ich bezweifel allerdings, dass dies möglich ist und habe auch kein CAS zur Hand, mit dem ich das überprüfen könnte.
1. [mm] \integral_{0}^{1} {sin^{2}(\pi x) e^{-2x} dx}
[/mm]
2. [mm] \integral_{}^{} {sin(\pi x) e^{-kx} dx}[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
Bei der 2. Aufgabe würde ich es mal mit dem Verfahren der partiellen Integration probieren. Diese mußt Du dann wohl 2-mal anwenden ...
Ist aber nur ein "Verdacht" - ich habe es jetzt nicht nachgerechnet - also völlig ohne Gewähr (Haftungsausschluß - wie bei jeder Antwort hier  ).
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Mo 28.03.2005 | | Autor: | mat84 |
Also ich würds lösen, indem ich 2mal partiell integriere und mir dann das ganze als Gleichung angucke:
[mm] \integral {sin(\pi x)*e^{-kx}dx}
= sin(\pi x)*\left(-\bruch{1}{k} \right)*e^{-kx} - \integral {\pi cos(\pi x)* \left(- \bruch{1}{k}*e^{-kx} \right) dx}
= \left( -\bruch{1}{k} \right) *sin(\pi x)*e^{-kx} + \bruch{\pi}{k}\integral {cos(\pi x)*e^{-kx}dx}
= \left( -\bruch{1}{k} \right) *sin(\pi x)*e^{-kx} + \bruch{\pi}{k}*\left( cos(\pi x)*\left(- \bruch{1}{k} \right)*e^{-kx} - \integral {-\pi sin(\pi x)* \left(- \bruch{1}{k} \right)*e^{-kx}dx} \right)
= \left( -\bruch{1}{k} \right) * sin(\pi x)*e^{-kx} - \bruch{\pi}{k^2}*cos(\pi x)*e^{-kx}- \bruch{\pi}{k} \integral {-\pi*sin(\pi x)*\left( -\bruch{1}{k} \right)*e^{-kx}dx}
= \left( -\bruch{1}{k} \right) *e^{-kx}* \left( sin(\pi x) + \bruch{\pi}{k}*cos (\pi x) \right) - \bruch{\pi^2}{k^2} \integral {sin(\pi x)*e^{-kx}dx} [/mm]
Wir haben also jetzt die Gleichung
[mm] \integral {sin(\pi x)*e^{-kx}dx} = - \bruch{1}{k}*e^{-kx}* \left( sin(\pi x) + \bruch{\pi}{k}*cos (\pi x) \right) - \bruch{\pi^2}{k^2}* \integral {sin(\pi x)*e^{-kx}dx} [/mm]
wir haben auf beiden Seiten dasselbe Integral, bringen es auf dieselbe Seite:
[mm] \left( 1 + \bruch{\pi^2}{k^2} \right)*\integral {sin(\pi x)*e^{-kx}dx} = - \bruch{1}{k}*e^{-kx}* \left( sin (\pi x) + \bruch{\pi}{k}*cos(\pi x) \right)
\integral {sin(\pi x)*e^{-kx}dx} = \bruch{- \bruch{1}{k}*e^{-kx}*}{1 + \bruch{\pi^2}{k^2}}* \left( sin(\pi x) + \bruch{\pi}{k}*cos(\pi x) \right) [/mm]
und dann evtl. noch weiter vereinfachen *g* Rechenfehler nicht ausgeschlossen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Das erste Integral kannst du ähnlich mit partieller Integration lösen:
[mm] $\int\limits_0^1 \sin^2(\pi x)e^{-2x}\, [/mm] dx$
$= [mm] \underbrace{\left[ - \frac{1}{2}e^{-2x} \sin^2(\pi x) \right]_0^1}_{=\, 0} [/mm] + [mm] \pi\int\limits_0^1 e^{-2x}\sin(\pi [/mm] x) [mm] \cos(\pi x)\, [/mm] dx$
$= [mm] \pi\underbrace{\left[-\frac{1}{2}e^{-2x} \sin(\pi x)\cos(\pi x) \right]_0^1}_{=\, 0} [/mm] + [mm] \frac{\pi^2}{2} \int\limits_0^1 e^{-2x} \cdot \left( \cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x) \right)\, [/mm] dx$
$= [mm] \frac{\pi^2}{2} \int\limits_0^1 e^{-2x} \cdot \left(1 - 2\sin^2(\pi x) \right)\, [/mm] dx$
$= [mm] \frac{\pi^2}{2} \int\limits_0^1 e^{-2x}\, [/mm] dx - [mm] \pi^2\int\limits_0^1 e^{-2x} \sin^2(\pi x)\, [/mm] dx$,
also:
[mm] $(1+\pi^2) \int\limits_0^1 \sin^2(\pi x)e^{-2x}\, [/mm] dx = [mm] \frac{\pi^2}{2} \int\limits_0^1 e^{-2x}\, [/mm] dx$.
Den Rest schaffst du jetzt wohl alleine.
Aber unbedingt nachrechnen, es ist (wie ich mich kenne) nicht unwahrscheinlich, dass ich hier Flüchtigkeitsfehler eingebaut habe.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
Fehlt in der 1. Zeile nicht das pi!? Also die innere Ableitung von sin(pi x)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Danke für den Hinweis. Ich habe es jetzt verbessert. 
Viele Grüße
Julius
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Integrator