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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Mi 02.12.2009 | | Autor: | sieru |
Guten Abend
Ich soll diese Aufgabe integrieren. Ich tu mich leider immer schwer zu sehen, wie ich die Aufgaben am sinnvollsten anpacke.
[mm] \integral \bruch{1}{x * ln (x)}
[/mm]
[mm] \integral \bruch{1}{x} [/mm] * [mm] \bruch{1}{ln (x)}
[/mm]
f = ln (x) g' = x^(-1)
f' = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] g = ln (x)
= [mm] ln^2 [/mm] (x) - [mm] \integral [/mm] ln (x) * [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Oder da geht nicht wirklich was?
Also Subst.?
[mm] \integral \bruch{1}{x * ln (x)} [/mm] z = x * ln (x)
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = ln (x) + 1
dz = (ln (x) + 1 ) * dx
Oder das war auch nicht sinnvoll?
Subst. z = ln(x)
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
dx = dz * x
= [mm] \integral \bruch{1}{x * z} [/mm] * dz * x = [mm] \integral \bruch{1}{z} [/mm] dz
= ln (x*ln(x)) + c
Stimmt das nun? Und eben wie sehe ich wie ich rechnen muss, ist etwas unpraktisch zuerst immer probieren.
Danke, MFG Sieru
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Mi 02.12.2009 | | Autor: | glie |
> Guten Abend
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> Ich soll diese Aufgabe integrieren. Ich tu mich leider
> immer schwer zu sehen, wie ich die Aufgaben am sinnvollsten
> anpacke.
>
>
> [mm]\integral \bruch{1}{x * ln (x)}[/mm]
Hallo,
das ist hier eigentlich gar nicht so schwer, wenn man das ein bisschen geschickt umschreibt.
Du kennst doch bestimmt folgende Regel:
[mm] $\int{\bruch{f'(x)}{f(x)}dx}=ln|f(x)|+c$
[/mm]
Dein Integral kann man so schreiben:
[mm] $\integral \bruch{1}{x * ln (x)}dx=\integral \bruch{\bruch{1}{x}}{ln (x)}dx$
[/mm]
und damit ist es von der obigen Bauart.
Gruß Glie
>
> [mm]\integral \bruch{1}{x}[/mm] * [mm]\bruch{1}{ln (x)}[/mm]
>
> f = ln (x) g' = x^(-1)
> f' = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] g = ln (x)
>
> = [mm]ln^2[/mm] (x) - [mm]\integral[/mm] ln (x) * [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Oder da geht nicht wirklich was?
>
>
> Also Subst.?
> [mm]\integral \bruch{1}{x * ln (x)}[/mm] z = x * ln (x)
>
>
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = ln (x) + 1
> dz = (ln (x) + 1 ) * dx
>
> Oder das war auch nicht sinnvoll?
>
>
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> Subst. z = ln(x)
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> dx = dz * x
>
> = [mm]\integral \bruch{1}{x * z}[/mm] * dz * x = [mm]\integral \bruch{1}{z}[/mm]
> dz
> = ln (x*ln(x)) + c
>
> Stimmt das nun? Und eben wie sehe ich wie ich rechnen muss,
> ist etwas unpraktisch zuerst immer probieren.
>
> Danke, MFG Sieru
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mi 02.12.2009 | | Autor: | sieru |
Hallo Glie
Danke für deine Antwort.
> > Guten Abend
> >
> > Ich soll diese Aufgabe integrieren. Ich tu mich leider
> > immer schwer zu sehen, wie ich die Aufgaben am sinnvollsten
> > anpacke.
> >
> >
> > [mm]\integral \bruch{1}{x * ln (x)}[/mm]
>
> Hallo,
>
> das ist hier eigentlich gar nicht so schwer, wenn man das
> ein bisschen geschickt umschreibt.
>
> Du kennst doch bestimmt folgende Regel:
>
> [mm]\int{\bruch{f'(x)}{f(x)}dx}=ln|f(x)|+c[/mm]
Momentan sagt mir diese Regeln nichts, will aber nicht behaupten, dass die nie Gegenstand unseres Unterrichts war. Mein Durchblick läßt gerade zu wünschen übrig.
Man kanns wohl nicht viel deutlicher schreiben, aber kannst du dir trotzdem nochmals die Mühe geben es mir zu erklären?
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>
> Dein Integral kann man so schreiben:
>
> [mm]\integral \bruch{1}{x * ln (x)}dx=\integral \bruch{\bruch{1}{x}}{ln (x)}dx[/mm]
>
> und damit ist es von der obigen Bauart.
>
> Gruß Glie
>
>
> >
> > [mm]\integral \bruch{1}{x}[/mm] * [mm]\bruch{1}{ln (x)}[/mm]
> >
> > f = ln (x) g' = x^(-1)
> > f' = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] g = ln (x)
> >
> > = [mm]ln^2[/mm] (x) - [mm]\integral[/mm] ln (x) * [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> >
> > Oder da geht nicht wirklich was?
> >
> >
> > Also Subst.?
> > [mm]\integral \bruch{1}{x * ln (x)}[/mm] z = x * ln (x)
> >
> >
> > [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = ln (x) + 1
> > dz = (ln (x) + 1 ) * dx
> >
> > Oder das war auch nicht sinnvoll?
> >
> >
> >
> > Subst. z = ln(x)
> > [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> > dx = dz * x
> >
> > = [mm]\integral \bruch{1}{x * z}[/mm] * dz * x = [mm]\integral \bruch{1}{z}[/mm]
> > dz
> > = ln (x*ln(x)) + c
> >
> > Stimmt das nun? Und eben wie sehe ich wie ich rechnen muss,
> > ist etwas unpraktisch zuerst immer probieren.
> >
> > Danke, MFG Sieru
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> >
Danke für deine Bemühungen
MFG Sieru
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo sieru,
die Regel $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}=\ln(|f(x)|)+C$ kannst du dir durch eine einfache Substitution selber herleiten.
Substituiere den Nenner $u=u(x):=f(x)$
Dann ist $u'(x)=\frac{du}{dx}=f'(x)$, also $dx=\frac{du}{f'(x)}$
Damit $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}=\int{\frac{f'(x)}{u} \ \frac{du}{f'(x)}}=\int{\frac{1}{u} \ du}=\ln(|u|)+C=\ln(|f(x)|)+C$
Das gilt allg.!
Du kannst ohne diese spezielle Regel dein Integral analog berechnen, substituiere in deinem Spezialfall $\int\frac{\frac{1}{x}}{\ln(x)} \ dx}$ genauso den Nenner: $u=u(x):=\ln(x)$ ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Mi 02.12.2009 | | Autor: | glie |
Vielleicht noch ein paar kleine Beispiele.
Bilde die Ableitungen der folgenden Funktionen und beachte dann insbesondere, wie durch das Nachdifferenzieren im Zähler genau die Ableitung des Nenners steht:
[mm] $f(x)=ln(x^2+1)$
[/mm]
An diesem Beispiel mach ich das einmal vor:
[mm] $f'(x)=\bruch{1}{x^2+1}*2x=\bruch{2x}{x^2+1}$
[/mm]
Jetzt versuch du das für
[mm] $f(x)=ln(x^4+x^3)$
[/mm]
$f(x)=ln(sin(x))$
$f(x)=ln(ln(x))$
Gruß Glie
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Do 03.12.2009 | | Autor: | sieru |
Hallo, danke für die Beispiele
> Vielleicht noch ein paar kleine Beispiele.
>
> Bilde die Ableitungen der folgenden Funktionen und beachte
> dann insbesondere, wie durch das Nachdifferenzieren im
> Zähler genau die Ableitung des Nenners steht:
>
> [mm]f(x)=ln(x^2+1)[/mm]
>
> An diesem Beispiel mach ich das einmal vor:
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{x^2+1}*2x=\bruch{2x}{x^2+1}[/mm]
>
>
> Jetzt versuch du das für
>
> [mm]f(x)=ln(x^4+x^3)[/mm] = [mm] \bruch{4x^3 + 3x^2}{x^4 + x^3}
[/mm]
>
> [mm]f(x)=ln(sin(x))[/mm] = [mm] \bruch{cos(x)}{sin (x)} [/mm] = cot (x)
>
> [mm]f(x)=ln(ln(x))[/mm] = [mm] \bruch{1}{x * ln (x)}
[/mm]
Stimmt das so in etwa?
Auf diese Seite finde ich es um einiges einfacher zu sehen, als umgekehrt
Danke, Sieru
>
>
> Gruß Glie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Do 03.12.2009 | | Autor: | glie |
> Hallo, danke für die Beispiele
>
> > Vielleicht noch ein paar kleine Beispiele.
> >
> > Bilde die Ableitungen der folgenden Funktionen und beachte
> > dann insbesondere, wie durch das Nachdifferenzieren im
> > Zähler genau die Ableitung des Nenners steht:
> >
> > [mm]f(x)=ln(x^2+1)[/mm]
> >
> > An diesem Beispiel mach ich das einmal vor:
> >
> > [mm]f'(x)=\bruch{1}{x^2+1}*2x=\bruch{2x}{x^2+1}[/mm]
> >
> >
> > Jetzt versuch du das für
> >
> > [mm]f(x)=ln(x^4+x^3)[/mm] = [mm]\bruch{4x^3 + 3x^2}{x^4 + x^3}[/mm]
> >
> > [mm]f(x)=ln(sin(x))[/mm] = [mm]\bruch{cos(x)}{sin (x)}[/mm] = cot (x)
> >
> > [mm]f(x)=ln(ln(x))[/mm] = [mm]\bruch{1}{x * ln (x)}[/mm]
>
> Stimmt das so in etwa?
Die Ableitungen hast du richtig berechnet, nur solltest du da nicht mit = weiterschreiben!
Aber sonst passts. Siehst du dass immer im Zähler die Ableitung des Nenners steht.
Also kennst du jetzt eine Stammfunktion zu
[mm] $f(x)=\bruch{4x^3 + 3x^2}{x^4 + x^3}$,
[/mm]
das ist dann [mm] $F(x)=ln|x^4+x^3|+c$
[/mm]
bei den anderen Beispielen analog.
oder allgemein eben:
[mm] $\int{\bruch{f'(x)}{f(x)}}dx=ln|f(x)|+c$
[/mm]
Fällt dir vielleicht zufällig beim letzten der Beispiele etwas auf?? 
Gruß Glie
>
> Auf diese Seite finde ich es um einiges einfacher zu sehen,
> als umgekehrt
>
> Danke, Sieru
> >
> >
> > Gruß Glie
>
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