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| Aufgabe | | Berechne das Integral von [mm] e^{-x}*sin(x) [/mm] |
Hallo an alle,
mein Problem ist nicht die Lösung, sondern wie ich da hinkomme;
[mm] \integral{e^{-x}*sin(x) dx} [/mm]
[mm] =-e^{-x}*cos(x)-\integral{e^{-x}*cos(x) dx}
[/mm]
[mm] =-e^{-x}*cos(x)-e^{-x}*sin(x)+\integral{-e^{-x}*sin(x) dx}
[/mm]
[mm] =-e^{-x}*cos(x)-e^{-x}*sin(x)-\integral{e^{-x}*sin(x) dx}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}e^{-x}*(cos(x)-sin(x))
[/mm]
Wie komme ich denn von der vorletzten Zeile auf die letzte Zeile? Woher weiß ich, dass das des gleiche is?
kann mir da wer weiter helfen?
schon mal vielen Dank
fg
chrissi
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Hi, chrissi,
> Berechne das Integral von [mm]e^{-x}*sin(x)[/mm]
> Hallo an alle,
>
> mein Problem ist nicht die Lösung, sondern wie ich da
> hinkomme;
> [mm]\integral{e^{-x}*sin(x) dx}[/mm]
> [mm]=-e^{-x}*cos(x)-\integral{e^{-x}*cos(x) dx}[/mm]
>
> [mm]=-e^{-x}*cos(x)-e^{-x}*sin(x)+\integral{-e^{-x}*sin(x) dx}[/mm]
>
> [mm]=-e^{-x}*cos(x)-e^{-x}*sin(x)-\integral{e^{-x}*sin(x) dx}[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{1}{2}e^{-x}*(cos(x)-sin(x))[/mm]
> Wie komme ich denn von der vorletzten Zeile auf die
> letzte Zeile? Woher weiß ich, dass das des gleiche is?
> kann mir da wer weiter helfen?
Ich nenn' diesen Integral-Typ immer "Typ Phönix".
Kommt bei der partiellen Integration manchmal vor, dass das Ausgangsintegral
nach einigen Rechenschritten als Teilergebnis wieder dasteht.
Bei Dir (Ich kürze das gegebene Integral der Übersichtlichkeit halber mal ab):
J = [mm] \integral{e^{-x}*sin(x) dx}
[/mm]
Und nach einigen Rechenschritten:
... = [mm] -e^{-x}*cos(x)-e^{-x}*sin(x) [/mm] - J
Zusteht nun also folgende Gleichung da:
J = [mm] -e^{-x}*cos(x)-e^{-x}*sin(x) [/mm] - J
Nun formst Du um und löst nach J auf:
J = [mm] -e^{-x}*cos(x)-e^{-x}*sin(x) [/mm] - J | + J
2*J = [mm] -e^{-x}*cos(x)-e^{-x}*sin(x) [/mm] | :2
J = [mm] 1/2*(-e^{-x}*cos(x)-e^{-x}*sin(x))
[/mm]
Zwei Kleinigkeiten noch:
1. Irgendwo musst Du noch die Integrationskonstante "herzaubern"
(unbestimmtes Integral!).
Dies geschieht am besten gleich beim 1. Rechenschritt der partiellen Integration.
2. Irgendwo ist da ein Vorzeichenfehler drin! Aber den findest Du wohl selber!
mfG!
Zwerglein
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Hi Zwerglein
danke du hast mir sehr weitergeholfen;
fg
chrissi
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