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Integral: Frage??
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:05 Fr 20.05.2005
Autor: Ursus

Hi Leute!

Ich bin bei einem Bsp auf folgendes Problem gestossen:

und zwar sollte ich  [mm] \integral_{ }^{ } (ax^2+bx+c) [/mm] ^n dx bilden.

ich hab mir das so überlegt: ich bringe es auf

[mm] a^n \integral_{ }^{ } (t^2 +y)^n [/mm] dx
(wobei y = - [mm] \bruch{b^2+4ac}{4a^2} [/mm] )

und wollte es dann so lange ersetzen bis die innere Ableitung 1 ist, aber irgendwie kam ich auf keine Lösung!
Also meine Frage: wie integriere ich am besten [mm] \integral_{ }^{ } (ax^2+bx+c) [/mm] ^n dx  ??

Ich habe die Frage auf keinen anderen Internetseiten gepostet!

Besten Dank für eure Hilfe!

mfg URSUS
        
Bezug
Integral: Idee
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:31 Fr 20.05.2005
Autor: Bastiane

Hallo Bär! ;-)

> und zwar sollte ich  [mm]\integral_{ }^{ } (ax^2+bx+c)[/mm] ^n dx
> bilden.
>  
> ich hab mir das so überlegt: ich bringe es auf
>
> [mm]a^n \integral_{ }^{ } (t^2 +y)^n[/mm] dx
> (wobei y = - [mm]\bruch{b^2+4ac}{4a^2}[/mm] )
>  
> und wollte es dann so lange ersetzen bis die innere
> Ableitung 1 ist, aber irgendwie kam ich auf keine Lösung!
>  Also meine Frage: wie integriere ich am besten [mm]\integral_{ }^{ } (ax^2+bx+c)[/mm]
> ^n dx  ??

Also, eigentlich hab ich ja nicht wirklich Ahnung davon, aber mir sind da zwei Ideen gekommen:
1) Kann man den Integrand nicht vielleicht irgendwie als Binomialkoeffizient ausdrücken und dann integrieren? Bei zwei Summanden geht das - warum nicht auch bei drei?
2) Kann man das nicht schreiben als (x-p)(x-q) oder irgendwie so - obwohl, das bringt vielleicht auch nicht weiter...

Naja, war nur so ne Idee...

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:24 Fr 20.05.2005
Autor: Julius

Hallo Ursus!

> und zwar sollte ich  [mm]\integral_{ }^{ } (ax^2+bx+c)[/mm] ^n dx
> bilden.
>  
> ich hab mir das so überlegt: ich bringe es auf
>
> [mm]a^n \integral_{ }^{ } (t^2 +y)^n[/mm] dx
> (wobei y = - [mm]\bruch{b^2+4ac}{4a^2}[/mm] )

[ok], nur sollte dann natürlich auch "$dt$" da stehen. ;-)

> und wollte es dann so lange ersetzen bis die innere
> Ableitung 1 ist, aber irgendwie kam ich auf keine Lösung!
>  Also meine Frage: wie integriere ich am besten [mm]\integral_{ }^{ } (ax^2+bx+c)[/mm]
> ^n dx  ??

Jetzt einfach die Binomialreihe anwenden:

[mm] $a^n \int (t^2+y)^n \, [/mm] dt$

$= [mm] a^n \int \sum\limits_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose k}t^{2k}y^{n-k}\, [/mm] dt$

$=  [mm] a^n \sum\limits_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] y^{n-k} \int t^{2k}\, [/mm] dt$

$= [mm] a^n \sum \limits_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose k}y^{n-k} \frac{t^{2k+1}}{2k+1} [/mm] + C$.

Viele Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:34 Fr 20.05.2005
Autor: Ursus

Besten Dan für eure Hilfe!
Jetzt ist mir alles klar!

Liebe Grüße, URSUS
Bezug
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