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| Aufgabe | | Sei [mm] \gamma [/mm] ein Integrationsweg in [mm] \IC [/mm] von 0 nach 2 mit 1 [mm] \not\in Sp(\gamma). [/mm] Welche Werte sind dann für das Integral [mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{z}{1-z} dz} [/mm] möglich?? |
Liebe Matheexperten ;),
ich habe die Aufgabe gelöst, hänge aber ganz am Schluss. Ich habe bemerkt, dass ich wohl die Definition des Argumentes nicht wirklich verstanden habe. Vielleicht könnt ihr mir das weiterhelfen. Also hier mal meine Lösung:
Definiere f: [mm] \IC\{1} [/mm] -> [mm] \IC, z\mapsto \bruch{z}{1-z}. [/mm] f ist stetig als Quotient und Differenz stetiger Funktionen.
f(z) = [mm] \bruch{z}{1-z}= \bruch{z-1+1}{1-z}= [/mm] -1 + [mm] \bruch{1}{1-z}
[/mm]
Definiere F: [mm] \IC_\alpha [/mm] (Def.Bereich Log) -> [mm] \IC, z\mapsto [/mm] -z - [mm] log_{\alpha, k}(1-z). [/mm] F ist holomporh mit F'=f. Es gilt außerdem [mm] \gamma(a)=0 [/mm] , [mm] \gamma(b)=2.
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{z}{1-z} dz} [/mm] = [mm] \integral_{\gamma}^{}{-1 + \bruch{1}{1-z} dz} [/mm] = [mm] F(\gamma(a)) -F(\gamma(b)) [/mm] = F(2) - F(0) = -2 - [mm] log_{\alpha, k}(-1) [/mm] + [mm] log_{\alpha, k}(1) [/mm] = -2 - log|-1| + i [mm] (arg_{\alpha}(-1) [/mm] + [mm] 2\pi [/mm] k) + log|1| + [mm] i(arg_{\alpha}(1) [/mm] + [mm] 2\pi [/mm] k). Jetzt fallen ja die log 1 jeweils weg, weil das ja 0 ist. Aber ich hab keine Ahnung wie ich jetzt mit dem Argument umgehen soll...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 01.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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