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| Aufgabe | Zeigen sie ohne Verwendung der Logarithmus- Funktion, dass die Funktion
L: [mm] \IR^{+} \to \IR [/mm] definiert durch
L(x) := [mm] \integral_{x}^{1}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] x > 0,
Die folgenden Eigenschaften besitzt :
1) L(xy)= L(x) + L(y) [mm] \forall [/mm] x,y > 0
2) L [mm] (x^{\alpha})= \alpha [/mm] L (x ) [mm] \forall [/mm] x > 0, [mm] \alpha \in \IR
[/mm]
3) L(exp (x)) = x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] |
Also ich komme mit dieser Aufgabe nicht so ganz klar, habe aber schon mal einen Versuch gestartet. Also :
Zu 1:
L(xy) = L(x) + L(y)
gegeben [mm] L(x):=\integral_{x}^{1}{\bruch{1}{t} dt}
[/mm]
Wähle L(y) [mm] :=\integral_{y}^{1}{\bruch{1}{t} dt}
[/mm]
L(x) + L(y) = [mm] \integral_{x}^{1}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] + L(y) := [mm] \integral_{y}^{1}{\bruch{1}{t} dt}
[/mm]
Frage : Wie bekomme ich das so umgeformt, dass ich die Form L(xy) erhalte und ist mein Ansatz überhaupt richtig.
Vielen dank schon mal für eure hilfe....
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Mi 11.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=792208
FRED
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Ok das erste habe ich, und zum 2) habe ich auch einen Ansatz
Also : L(x) := [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{t} dt}
[/mm]
2 L(x) [mm] :=2\integral_{}^{}{\bruch{1}{t} dt}
[/mm]
= [mm] \integral2_{}^{}{\bruch{1}{t} dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{2}{t} dt} [/mm] / Subst. [mm] t=s^{2}
[/mm]
Ist das so richtig und wie mache ich jetzt weiter ????
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{2}{t} ds^{2}} [/mm]
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Das soll keine 2 sein sondern [mm] \alpha
[/mm]
Sorryyyyyyyy.....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Mi 11.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok das erste habe ich, und zum 2) habe ich auch einen
> Ansatz
>
> Also : L(x) := [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
>
> 2 L(x) [mm]:=2\integral_{}^{}{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
>
>
> = [mm]\integral2_{}^{}{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{2}{t} dt}[/mm] / Subst. [mm]t=s^{2}[/mm]
>
> Ist das so richtig und wie mache ich jetzt weiter ????
>
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{2}{t} ds^{2}}[/mm]
Die Idee mit der Substitution ist schon gut:
[mm] t=s^\alpha \implies \bruch{dt}{ds} = \alpha s^{\alpha-1} \implies dt = \alpha s^{\alpha-1}ds [/mm]
und bei den Grenzen musst du auch substituieren:
[mm] L(x^\alpha)=\integral_{x^\alpha}^{1}{\bruch{1}{t} dt}= \integral_{x}^{1}{\bruch{\alpha s^{\alpha-1}}{s^\alpha} ds} = \dots [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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