Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Fr 30.11.2012 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Lösen Sie folgendes Integral:
[mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{2*\wurzel{x}+1}{x-2*\wurzel{x}-15} dx} [/mm] |
Hallo!
Ich habe das durchgerechnet, komme aber auf ein anderes Ergebnis als mein TR. Ich habe bald Klausur und rchne alte Klausuren durch, es gibt aber keine durchgerechneten Lösungen zu den Beispielen, was mir die Fehlersuche um einiges erschwert, ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Nun zu dem Beispiel:
Meine Idee war zuerst mal zu substituieren um die wurzel wegzubekomen und danach das Integral mit PBZ zu lösen.
ich habe mal substituiert: [mm] u=\wurzel{x}, \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm] und dx=2u*du.
das dann eingesetzt ergibt für mein integral
[mm] 2*\integral_{1}^{2}{\bruch{u*(2u+1)}{u^{2}-2u-15}du} [/mm] = [mm] 2*\integral_{1}^{2}{\bruch{2u^{2}+u}{u^{2}-2u-15}du}
[/mm]
Hier ist der Zählergrad gleich dem Nennergrad -> Polynomdivision.
[mm] (2u^{2}+u):(u^{2}-2u-15) [/mm] = [mm] 2-\bruch{3u+30}{u^{2}-2u-15}
[/mm]
und mein integral sieht jetzt nun so aus:
[mm] 2*\integral_{1}^{2}{2du}-2*\integral_{1}^{2}{\bruch{3u+30}{u^{2}-2u-15}du}
[/mm]
zu dem zweiten Term mache ich nun die PBZ:
[mm] \bruch{3u+30}{u^{2}-2u-15}=\bruch{A}{u-5}+\bruch{B}{u+3}
[/mm]
Mit Koeffiezientenvergleich komme ich auf [mm] A=\bruch{45}{8} [/mm] und [mm] B=-\bruch{21}{8}
[/mm]
Mein INtegral sieht jetzt dann so aus:
[mm] 2*\integral_{1}^{2}{2du}-2*\bruch{45}{8}*\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{u-5}du}+2*-\bruch{21}{8}*\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{u+3}du}
[/mm]
Die einzelnen Terme dann nach dem Satz [mm] \integral_{}^{}{\bruch{A}{x-\alpha}dx}=A*ln|x-\alpha|+C [/mm] ausintegriert, grenzen eingesetzt komme ich dann auf ca 8,4
die lösung sollte aber ca. -0,79 sein...
findet vielleicht von euch jemand meinen fehler?
vielen dank schon mal und lg
markus
|
|
| |
|
Hallo
[mm] 2\cdot{}\integral_{1}^{2}{\bruch{2u^{2}+u}{u^{2}-2u-15}du} [/mm] ist ok
Polynomdivision ist falsch
[mm] (2u^2+u):(u^2-2u-15)=2+\bruch{5u+30}{u^2-2u-15}
[/mm]
[mm] -(2u^2-4u-30)
[/mm]
--------
5u+30
dein Rest ist falsch, er lautet 5 u+30
Steffi
|
|
|
|
