Integral 1/(1+x²) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Reportiv |
Hallo, ich bräuchte bei einer Aufgabe etwas Hilfe:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^2} dx}
[/mm]
Die Lösung kenne ich schon:
= arctan x
Meine Aufgabe ist jedoch die Lösung nach dem Schritt
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{(1+\wurzel{-1}*x)*(1-\wurzel{-1}*x)}dx}
[/mm]
zu beweisen.
Ich danke schon einmal im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
das integral was du dort gegeben hast ist doch dann
[mm] \integral{\frac{1}{(1-i*x)*(1+i*x)}dx}. [/mm] Mach mal eine partialbruchzerlegung, also
[mm] \integral{\frac{1}{(1-i*x)*(1+i*x)}dx}=\integral{\frac{A}{(1-i*x)}+\frac{B}{(1+i*x)}dx}
[/mm]
Dann kriegst du ein ergebnis für das integral was komplexe logarithmen enthalt. Die kannst du lösen
das ergebnis sollte sein:
[mm] \frac{1}{2*i}\frac{log(1+i*x)}{log(1-i*x)}. [/mm] Wenn du jetzt die definitionen des sinus und kosinus nutzt, also
[mm] \sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} [/mm] und [mm] \cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
[/mm]
kannst du von dort ausgehend zeigen, dass [mm] \frac{\sin(x)}{\cos(x)}^{-1} [/mm] wobei ich damit die umkehrfunktion meine, genau das ergebnis dieses integrals sind.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Reportiv |
Okay soweit schonmal danke,
aber ich komme von dem Schritte
[mm] \integral_{}{}{(\bruch{A}{1-i*x}+\bruch{B}{1+i*x})dx}
[/mm]
nicht auf dein Ergebnis
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Hallo,
eine partialbruchzerlegung kriegst du hin, oder ?
Was sind deine ergebnisse für A und B ? Wie weit kommst du, zeig mal deine schritte.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Reportiv |
Also ich fange mal an:
[mm] \integral{}{}{(\bruch{A*(1+i*x)}{1+x^2}+\bruch{B*(1-i*x)}{1+x^2})dx}
[/mm]
[mm] \integral{}{}{\bruch{A+Aix+B-Bix}{1+x^2}dx}
[/mm]
das bedeutet
[mm] \a [/mm] A+B=1
[mm] \a [/mm] Aix-Bix=0
so komme ich auf
[mm] A=B=\bruch{1}{2}
[/mm]
und dann komme ich auf
[mm] \bruch{1}{2}*(\integral{}{}{\bruch{1}{1-i*x}dx}+\integral{}{}{\bruch{1}{1+i*x}dx})
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*(ln(1-i*x)+ln(1+i*x))
[/mm]
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Hallo Reportiv,
> Also ich fange mal an:
>
> [mm]\integral{}{}{(\bruch{A*(1+i*x)}{1+x^2}+\bruch{B*(1-i*x)}{1+x^2})dx}[/mm]
>
> [mm]\integral{}{}{\bruch{A+Aix+B-Bix}{1+x^2}dx}[/mm]
>
> das bedeutet
>
> [mm]\a[/mm] A+B=1
> [mm]\a[/mm] Aix-Bix=0
>
> so komme ich auf
>
> [mm]A=B=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> und dann komme ich auf
>
> [mm]\bruch{1}{2}*(\integral{}{}{\bruch{1}{1-i*x}dx}+\integral{}{}{\bruch{1}{1+i*x}dx})[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}*(ln(1-i*x)+ln(1+i*x))[/mm]
Das stimmt nicht ganz:
[mm]\bruch{{\red{1}}}{2}*(ln(1-i*x)\blue{+}ln(1+i*x))[/mm]
Die rot markierte Zahl stimmt nicht.
Das blau markierte ist ein Vorzeichenfehler.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Reportiv |
Also ich stehe gerade auf dem Schlauch und verstehe nicht wieso das Falsch sein soll und noch dazu frage ich mich wie ich jetzt von da auf arctan x kommen kann.
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Hallo Reportiv,
> Also ich stehe gerade auf dem Schlauch und verstehe nicht
> wieso das Falsch sein soll und noch dazu frage ich mich wie
Leite Deine Stammfunktion mal ab.
[mm] \bruch{1}{2}\cdot{}(ln(1-i\cdot{}x)+ln(1+i\cdot{}x)) [/mm]
> ich jetzt von da auf arctan x kommen kann.
Nun, da musst Du Dich mit komplexen Logarithmen auseinadersetzen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Reportiv |
Ja also abgelitten kommt da bei mir:
[mm] \bruch{1}{2}*(\bruch{1}{1-i*x}+\bruch{1}{1+i*x})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*(1-i*x)}+\bruch{1}{2*(1+i*x)}
[/mm]
mit [mm] A=B=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{A}{1-i*x}+\bruch{B}{1+i*x}
[/mm]
also für mich scheint alles richtig...
gibt es denn keine "einfache" Möglichkeit von
[mm] \integral{}{}{\bruch{1}{(1-i*x)*(1+i*x)}dx}
[/mm]
auf arctan x zu kommen?
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Hallo Reportiv,
> Ja also abgelitten kommt da bei mir:
>
> [mm]\bruch{1}{2}*(\bruch{1}{1-i*x}+\bruch{1}{1+i*x})[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2*(1-i*x)}+\bruch{1}{2*(1+i*x)}[/mm]
>
> mit [mm]A=B=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{A}{1-i*x}+\bruch{B}{1+i*x}[/mm]
>
> also für mich scheint alles richtig...
>
> gibt es denn keine "einfache" Möglichkeit von
>
> [mm]\integral{}{}{\bruch{1}{(1-i*x)*(1+i*x)}dx}[/mm]
>
> auf arctan x zu kommen?
Die einfachste Möglichkeit, ist die der Substitution
Wähle hier die Substitution [mm]x=\tan\left(z\right)[/mm]
Und wende diese Substitution auf
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^{2}} \ dx}[/mm]
an.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Reportiv |
Ja also diesen Weg kenne ich ja schon doch meine Aufgabe ist halt über den anderen Weg zu gehen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Sa 06.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
(ln(1-ix))'=-i*1/(1-ix)
(ln(1+ix))'=i*1/(1+ix)
merkst du jetzt deinen Fehler beim Integral
Gruss leduart
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> Ja also diesen Weg kenne ich ja schon doch meine Aufgabe
> ist halt über den anderen Weg zu gehen.
Hallo,
beachte wie bereits erwähnt, daß Deine Stammfunktionen nicht stimmen.
Dann mußt Du noch wissen, daß
[mm] \arctan z=\frac{\ln(1+\mathrm iz)-\ln(1-\mathrm iz)}{2\mathrm i} [/mm] = [mm] \frac{1}{2\mathrm i} \ln \frac{1+\mathrm iz}{1-\mathrm iz} [/mm] , oder Dir das aus irgendwas, was Du gelernt hast, herleiten.
Gruß v. Angela
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> Ja also abgelitten kommt da bei mir:
>
> [mm]\bruch{1}{2}*(\bruch{1}{1-i*x}+\bruch{1}{1+i*x})[/mm]
Die Menge der (un)möglichen sprachlichen Kreationen
scheint unbegrenzt zu sein ...
Nachdem wir uns mit "aufleiten" notgezwungenermaßen
schon halbwex zurechtgefindet haben, ist jätz da wider
1er 1 Stk. weiter abgeglitten bzw. abgegleitet ....
> gibt es denn keine "einfache" Möglichkeit von
>
> [mm]\integral{}{}{\bruch{1}{(1-i*x)*(1+i*x)}dx}[/mm]
>
> auf arctan x zu kommen?
... fileicht durch Aufleiden ... ?
 Aal Krawimsi
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