Integral = 0 < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:08 Di 27.01.2009 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Es sei $f:[a,b] [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] stetig (und damit integrierbar). Es gelte $f(x) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \; \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b]$. Zeigen Sie:
[mm] $\int^b_a [/mm] f(x)dx = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] f=0$.
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Hallo,
anschaulich ist es ja klar, dass das Integral nur 0 sein kann, wenn die Funktion konstant 0, da laut Vorausetzung für alle x $f(x) [mm] \ge [/mm] 0$. So können sich ja nicht Flächen ober- und unterhalb der x-Achse aufheben.
Das sieht mir nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung aus für den Spezialfall $ [mm] \varphi=1$: $\int^b_a [/mm] f(x)dx = [mm] f(\xi) [/mm] (b-a)$ für ein [mm] $\xi \in [/mm] [a,b]$.
Damit erhalte ich aber nur, dass es eine Stelle [mm] $\xi$ [/mm] gibt, an der die Funktion den Wert 0 annimmt (wenn $a [mm] \not= [/mm] b$).
Wie zeige ich, das f konstant 0 ist?
Gruß,
Palonina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Di 27.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Nimm an, die Funktion f wäre nicht konstant = 0. Dann gibt es in [a,b] ein [mm] x_0 [/mm] mit [mm] $f(x_0) [/mm] = z > 0$
Da f stetig ist, gibt es Zahlen c und d mit c<d und
$a [mm] \le [/mm] c [mm] \le x_0 \le [/mm] d [mm] \le [/mm] b$ und $f(x) [mm] \ge [/mm] z/2$ für jedes x in [c,d].
Dann folgt:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \ge \integral_{c}^{d}{f(x) dx} \ge \integral_{c}^{d}{\bruch{z}{2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{z(d-c)}{2} [/mm] > 0,
Widerspruch.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Di 27.01.2009 | | Autor: | Palonina |
Hallo Fred,
diese Abschätzungen der Integrale kann ich machen, da [c,d] in [a,b] liegt und die Funktion auf dem Intervall [mm] $\ge [/mm] 0$ ist?
Palonina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Di 27.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Fred,
>
> diese Abschätzungen der Integrale kann ich machen, da [c,d]
> in [a,b] liegt und die Funktion auf dem Intervall [mm]\ge 0[/mm]
> ist?
ja. Weil $[c,d] [mm] \subset [/mm] [a,b]$ und $f(x) [mm] \ge [/mm] 0$ auf $[a,b]$, folgt
[mm] $$\int_{c}^d [/mm] f [mm] \le \int_a^b f\,.$$
[/mm]
Ich schreibe Dir übrigens auch mal genauer auf, wo die Stetigkeit von $f$ eingeht:
Du nimmst an, die Behauptung sei falsch. Dann gibt es eine auf $[a,b]$ stetige Funktion $f$ mit $f(x) [mm] \ge [/mm] 0$ auf $[a,b]$ so, dass [mm] $\int_{a}^b f=0\,,$ [/mm] obwohl $f$ nicht die Nullfunktion auf $[a,b]$ ist. Folglich existiert ein [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $f(x_0):=z [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Bis hierhin ist das quasi wörtlich das, was Fred geschrieben hat.
Jetzt zu der Existenz solcher $c,d$:
Wähle [mm] $\epsilon:=z/2 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Weil $f$ stetig in [mm] $x_0$ [/mm] ist, gibt es zu diesem [mm] $\epsilon=z/2 [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta:=\delta(x_0,\epsilon) [/mm] > 0$ derart, dass für alle $x [mm] \in [x_0-\delta,x_0+\delta] \cap [/mm] [a,b]$ dann
[mm] $$|f(x)-f(x_0)| \le \epsilon\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$|f(x)\;-z| \le z/2\,,$$
[/mm]
woraus für alle $x [mm] \in [x_0-\delta,x_0+\delta] \cap [/mm] [a,b]$ wegen $z-|f(x)| [mm] \le [/mm] |f(x)-z|$ dann
$$|f(x)| [mm] \ge z\;-z/2=z/2$$
[/mm]
folgt.
Es ist sehr wichtig, zu beachten, dass bei Fred
[mm] $$\int_c^d [/mm] f [mm] \ge \int_c^d \frac{z}{2}\;dx=(d-c)\frac{z}{2} \;\blue{ > 0}$$
[/mm]
steht!
Gruß,
Marcel
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