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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{-2}^{2}{\wurzel{4-x^{2}} dx} [/mm] |
Guten Tag,
habe bei der Aufgabe Probleme. Zunächst habe ich versucht zu substituieren mit u = [mm] 4-x^{2} [/mm] aber irgendwie komme ich damit nicht weit. Hat jemand einen Tipp für mich?
LG Loriot95
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Hallo Loriot,
> Berechnen Sie [mm]\integral_{-2}^{2}{\wurzel{4-x^{2}} dx}[/mm]
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> Guten Tag,
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> habe bei der Aufgabe Probleme. Zunächst habe ich versucht
> zu substituieren mit u = [mm]4-x^{2}[/mm] aber irgendwie komme ich
> damit nicht weit. Hat jemand einen Tipp für mich?
Eine Möglichkeit: Ersetze [mm] x=2\sin\alpha. [/mm] Dann ist [mm] \frac{dx}{d\alpha}=2\cos\alpha.
[/mm]
$ [mm] \integral_{-2}^{2}{\wurzel{4-x^{2}} dx}=\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\wurzel{4-(2\sin\alpha)^{2}} 2\cos\alpha d\alpha}=\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\wurzel{4(1-\sin^2\alpha)} 2\cos\alpha d\alpha}=\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\wurzel{4\cos^2\alpha} 2\cos\alpha d\alpha}=\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{2\cos\alpha 2\cos\alpha d\alpha}=\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{4\cos^2\alpha d\alpha} [/mm] $
Das Integral [mm] \integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{4\cos^2\alpha d\alpha} [/mm] kannst du mit partieller Integration lösen.
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> LG Loriot95
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Wie um alles in der Welt kommst du auf diese Substituion?
LG Loriot
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Hallo Loriot,
> Wie um alles in der Welt kommst du auf diese Substituion?
Es ist [mm]\int{\sqrt{1-x^2} \ dx}[/mm] ein Standardintegral, das sich wegen des Zusammenhangs [mm]\sin^2(z)+\cos^2(z)=1[/mm], also [mm]\cos^2(z)=1-\sin^2(z)[/mm] mit der Substitution [mm]x=\sin(z)[/mm] erschlagen lässt.
Dein Integral ist nur leicht abgewandelt:
[mm]\int{\sqrt{4-x^2} \ dx}=2\cdot{}\int{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2} \ dx}[/mm]
Gleiche Standardsubst. [mm]\frac{x}{2}=\sin(z)[/mm], also [mm]x=2\sin(z)[/mm]
Übrigens kannst du es dir wegen der Achsensymmetrie des Integranden noch weiter vereinfachen und
[mm]\int\limits_{-2}^{2}{\sqrt{4-x^2} \ dx}=2\cdot{}\int\limits_{0}^{2}{\sqrt{4-x^2} \ dx}=4\int\limits_{0}^{2}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2} \ dx}[/mm] berechnen ...
Erwähnen sollte man in Kamaleontis Lösung noch, dass [mm]\sqrt{\cos^2(\alpha)}=\red{|\cos(\alpha)|}=\cos(\alpha)[/mm], da [mm]\cos(\alpha)>0[/mm] für [mm]-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}[/mm]
>
> LG Loriot
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
am Schnellsten und (beinahe komplett) ohne Rechnung geht es doch, wenn du dir mal überlgest, was die Funktion
[mm]y=\sqrt{1-x^2}[/mm] denn geometrisch beschreibt ...
Das Integral, also die Fläche, die die Kurve von -2 bis 2 mit der x-Achse einschließt, lässt sich elementar angeben.
(Wenn man in der Mittelstufe aufgepasst hat  )
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:54 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ja, stimmt :D. Ist ein Halbkreis von -2 bis 2. Der Radius wäre dann 2 und somit [mm] \bruch{\pi*r^{2}}{2} [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] wäre das gesuchte Integral.
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Hallo nochmal,
> Ja, stimmt :D. Ist ein Halbkreis von -2 bis 2. Der Radius
> wäre dann 2 und somit [mm]\bruch{\pi*r^{2}}{2}[/mm] = [mm]2\pi[/mm] wäre
> das gesuchte Integral.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ganz genau, rechne mal nach, ob du per Integralrechnung auf dasselbe Ergebnis kommst.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok. Danke ;) wird gemacht.
Habs nun raus. Vielen Dank :)
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