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| Aufgabe | | Bestimmen Sie: [mm] \integral_{1}^{e}{\wurzel{1+\bruch{a}{x^{2}}} dx} [/mm] mit [mm] a\in\IR [/mm] . |
Hallo zusammen,
in der eigentlichen Aufgabe ist eine bestimmte Zahl statt a gegeben. Darauf kommt es aber hier nicht an. Ich habe diese Aufgabe in einem LK-Buch gefunden und komme einfach nicht auf die Lösung. Kann mir vielleicht jemand dabei helfen?
Substitution funktioniert nicht und partielle Integration auch nicht. Habe folgende Umformung vorgenommen
[mm] \integral_{1}^{e}{\wurzel{1+\bruch{a}{x^{2}}} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{1}^{e}{\wurzel{\bruch{x^{2}}{x^{2}}+\bruch{a}{x^{2}}} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{1}^{e}{\wurzel{\bruch{x^{2}+a}{x^{2}}} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{1}^{e}{\bruch{\wurzel{x^{2}+a}}{x} dx}
[/mm]
Entweder stehe ich auf'm Schlauch oder das ist so einfach nicht. Bin für Hinweise dankbar.
Grüße, Daniel
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Hallo Daniel,
wenn ich gerade keine Idee habe, probiere ich normalerweise erstmal WolframAlpha aus.
![[]](/images/popup.gif) Hier ist das abschreckende Ergebnis.
Da muss es also in der Aufgabe noch weiteres gegeben haben, das einem die Berechnung irgendwie ermöglicht - jedenfalls, wenn die Aufgabe wirklich aus einem Schulbuch stammt.
Grüße
revreend
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Danke für die Hilfe. Die ursprüngliche Aufgabe ist es, die Bogenlänge dieser Funktion zu berechnen:
[mm] f(x)=4,2*ln(x^{3}).
[/mm]
Mit der Formel [mm] s=\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+(y')^{2}} dx} [/mm] bin ich auf o.g. Integral gekommen.
War vorher ein Fehler?
Grüße, Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 So 16.09.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Danke für die Hilfe. Die ursprüngliche Aufgabe ist es,
> die Bogenlänge dieser Funktion zu berechnen:
>
> [mm]f(x)=4,2*ln(x^{3}).[/mm]
>
> Mit der Formel [mm]s=\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+(y')^{2}} dx}[/mm]
> bin ich auf o.g. Integral gekommen.
>
> War vorher ein Fehler?
Nein, bisher ist alles ok
Sonntag 16.09.12
[mm] =4,2\cdot\frac{1}{x^{3}}\cdot3x^{2}=\frac{37,8}{x}
[/mm]
Also ist in der Tat:
[mm] (f'(x))^{2}=\frac{1428,84}{x^2}
[/mm]
Marius
Marius
>
> Grüße, Daniel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 So 16.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
hm. Das bleibt ungemütlich.
Wie Marius schon schreibt, soweit richtig.
> Danke für die Hilfe. Die ursprüngliche Aufgabe ist es,
> die Bogenlänge dieser Funktion zu berechnen:
>
> [mm]f(x)=4,2*ln(x^{3}).[/mm]
Man könnte aber mal folgendes probieren:
[mm] f(x)=4,2*\ln{(x^3)}=12,6*\ln{x}
[/mm]
Umkehrfunktion
[mm] f^{-1}(y)=e^{\bruch{y}{12,6}}
[/mm]
Nun war ja die Bogenlänge von x=1 bis x=e gesucht; für die Umkehrfunktion also von y=0 bis y=12,6.
(Die nötigen Untersuchungen spare ich mir gerade mal; sie gehen aber alle gut aus  )
Hm. Das führt doch auch zu nichts. Die folgende Integration, um hier die Bogenlänge zu bestimmen, ist leider kein Stück gemütlicher als vorher.
Naja, war ein Versuch.
Grüße
reverend
> Mit der Formel [mm]s=\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+(y')^{2}} dx}[/mm]
> bin ich auf o.g. Integral gekommen.
>
> War vorher ein Fehler?
>
> Grüße, Daniel
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