Integral bestimmen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Do 27.08.2009 | | Autor: | uecki |
Hallo,
habe hier die nächste Aufgabe. Und zwar:
[mm] \integral_{}^{}{(x*cos(2x))*e^{-x} dx}
[/mm]
Hab hier lediglich die Lösung und die sieht Hammer aus:
[mm] \integral_{}^{}{(x*cos(2x))*e^{-x} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{25}*e^{-x}*((3-5x)*cos(2x) [/mm] + 2*(5*x+2)*sin(2*x))
Und ich weiß nicht welchen Ansatz ich hier wählen sollte um auf die Lösung zu kommen...Partielle Integration? Substitution? Koeffizientenvergleich?
Könnte mir jemand vielleicht mal sagen womit und wie ich da anfange? 
LG
|
|
| |
|
> [mm]\integral_{}^{}{(x*cos(2x))*e^{-x} dx}[/mm]
>
> Hab hier lediglich die Lösung und die sieht Hammer aus:
>
> [mm]\integral_{}^{}{(x*cos(2x))*e^{-x} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{25}*e^{-x}*((3-5x)*cos(2x)[/mm] + 2*(5*x+2)*sin(2*x))
>
> Und ich weiß nicht welchen Ansatz ich hier wählen sollte
> um auf die Lösung zu kommen...Partielle Integration?
> Substitution? Koeffizientenvergleich?
Hallo uecki,
Das sieht schon nach partieller Integration aus ...
(habe es aber noch nicht durchgeführt)
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Do 27.08.2009 | | Autor: | uecki |
Dann mache ich doch partielle Integration in der partiellen Integration, oder?
Wegen dem x*sin(2*x) dachte ich, dass sind ja auch zwei verschiedene Funktionen die man partiell integriert...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:43 Do 27.08.2009 | | Autor: | uecki |
Ich meinte x*cos(2*x). Sorry
|
|
|
| |
|
Hallo uecki!
> Dann mache ich doch partielle Integration in der partiellen
> Integration, oder?
> Wegen dem x*sin(2*x) dachte ich, dass sind ja auch zwei
> verschiedene Funktionen die man partiell integriert...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig erkannt.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Do 27.08.2009 | | Autor: | uecki |
So, ich hab damit jetzt mal angefangen und fange schon an zu stocken. Habe bisher folgendes:
[mm] \integral_{}^{}{(x*cos(2*x))*e^{-x} dx}
[/mm]
u(x) = x*cos(2*x) [mm] \to [/mm] u'(x)=cos(2*x) - 2*x*sin(2*x)
v'(x) = [mm] e^{-x} \to [/mm] v(x)= [mm] -e^{-x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{(x*cos(2*x))*e^{-x} dx} [/mm] = [mm] -x*cos(2*x)*e^{-x} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{(cos(2*x) - 2*x*sin(2*x))*e^{-x} dx}
[/mm]
Und nu??? Das sieht ja jetzt noch schlimmer aus als vorher. Und wenn ich jetzt u(x) und v'(x) genau andersrum wählen würde, würde es auch nicht besser aussehen...
|
|
|
| |
|
> So, ich hab damit jetzt mal angefangen und fange schon an
> zu stocken. Habe bisher folgendes:
>
> [mm]\integral_{}^{}{(x*cos(2*x))*e^{-x} dx}[/mm]
>
> u(x) = x*cos(2*x) [mm]\to[/mm] u'(x)=cos(2*x) - 2*x*sin(2*x)
> v'(x) = [mm]e^{-x} \to[/mm] v(x)= [mm]-e^{-x}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{}^{}{(x*cos(2*x))*e^{-x} dx}[/mm] =
> [mm]-x*cos(2*x)*e^{-x}[/mm] + [mm]\integral_{}^{}{(cos(2*x) - 2*x*sin(2*x))*e^{-x} dx}[/mm]
>
> Und nu??? Das sieht ja jetzt noch schlimmer aus als vorher.
> Und wenn ich jetzt u(x) und v'(x) genau andersrum wählen
> würde, würde es auch nicht besser aussehen...
"Andersrum" dürfte eher noch schwieriger sein ...
Es gilt: weiter machen, bis man das Licht am Ende
des Tunnels sieht. Ich bin soweit, dass ich sehe, dass
es sich lohnt, als kleine "Zwischenrechnung" einmal
das Integral
[mm] S=\integral sin(2\,x)\,e^{-x}\,dx
[/mm]
bereitzustellen. Ausserdem das gesuchte Integral einmal
mit I bezeichnen. Man kommt dann irgendwann auf
eine Gleichung, die man nach I auflösen kann.
Einen einfacheren Weg sehe ich im Moment nicht ...
Gruß Al-Chw.
Inzwischen habe ich mich durch den Dschungel
der Integrationen durchgekämpft und kann bestätigen,
dass das von Mathematica gelieferte Ergebnis stimmt 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Do 27.08.2009 | | Autor: | uecki |
Also ich hab jetzt, im noch mal partielles Integrieren zu üben, ein paar andere Aufgaben gemacht. War auch kein Problem. Ich komme hier an einer Stelle einfach nicht weiter:
[mm] \integral_{}^{}{(x*cos(2x))*e^{-x} dx} [/mm] =
[mm] (-x*cos(2x))*e^{-x} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{(cos(2x)-2x*sin(2x))*e^{-x} dx} [/mm] =
[mm] (-x*cos(2x))*e^{-x}+ \integral_{}^{}{cos(2x)*e^{-x}-(2x*sin(2x))*e^{-x}dx}
[/mm]
Und nun habe ich ja wieder mehrmals partielle Integrationen hier versteckt:
1. für: [mm] cos(2x)*e^{-x}
[/mm]
2. für: [mm] -(2x*sin(2x))*e^{-x}
[/mm]
und hier drin ja wieder für: 2x*sin(2x)
Fange ich dann ganz hinten an, also 2x*sin(2x) zu integrieren, füge das dann ein und integriere das Ergebnis mit [mm] *e^{-x} [/mm] ?
|
|
|
| |
|
> Also ich hab jetzt, um noch mal partielles Integrieren zu
> üben, ein paar andere Aufgaben gemacht. War auch kein
> Problem. Ich komme hier an einer Stelle einfach nicht
> weiter:
>
> [mm]\integral{(x*cos(2x))*e^{-x} dx}[/mm] =
>
> [mm](-x*cos(2x))*e^{-x}+\integral{(cos(2x)-2x*sin(2x))*e^{-x} dx}[/mm] =
>
> [mm](-x*cos(2x))*e^{-x}+ \integral{cos(2x)*e^{-x}\,dx}\ -\ 2\integral{x*sin(2x))*e^{-x}dx}[/mm]
>
> Und nun habe ich ja wieder mehrmals partielle Integrationen
> hier versteckt:
> 1. für: [mm]cos(2x)*e^{-x}[/mm]
> 2. für: [mm]-(2x*sin(2x))*e^{-x}[/mm]
> und hier drin ja wieder für: 2x*sin(2x)
>
> Fange ich dann ganz hinten an, also 2x*sin(2x) zu
> integrieren, füge das dann ein und integriere das Ergebnis
> mit [mm]*e^{-x}[/mm] ?
Die ganze Sache ist tatsächlich ziemlich verzwickt.
Ich habe es so gemacht, dass ich ein paar Abkürzungen
eingeführt habe, um den Überblick nicht ganz zu
verlieren:
$\ I\ =\ [mm] \integral{(x*cos(2x))*e^{-x} dx}$ [/mm] (das eigentlich gesuchte Integral)
$\ S\ =\ [mm] \integral{sin(2x)*e^{-x} dx}$
[/mm]
$\ C\ =\ [mm] \integral{cos(2x)*e^{-x} dx}$
[/mm]
$\ D\ =\ [mm] \integral{x*sin(2x)*e^{-x} dx}$
[/mm]
Einige meiner Zwischenergebnisse:
$\ S\ =\ [mm] -\frac{e^{-x}}{5}*(sin(2x)+2\,cos(2x))$ [/mm]
$\ C\ =\ [mm] \frac{e^{-x}}{5}*(2*sin(2x)-\,cos(2x))$ [/mm]
$\ I\ =\ [mm] -x\,cos(2x)\,e^{-x}+C-2D$
[/mm]
$\ D\ =\ [mm] -x\,sin(2x)\ e^{-x}+S+2\,I$
[/mm]
Aus diesen Gleichungen erhält man am Schluss
das gewünschte Ergebnis und hat dann einen
kühlen Trunk verdient ...
LG
|
|
|
| |
|
> Dann mache ich doch partielle Integration in der partiellen
> Integration, oder?
> Wegen dem x*cos(2*x) dachte ich, dass sind ja auch zwei
> verschiedene Funktionen die man partiell integriert...
Klar, man muss weiter partiell integrieren, bis
das ursprünglich gesuchte Integral wieder in
der Rechnung auftritt. Dann kann man die
Gleichung - in welcher ausserdem andere,
berechenbare Integrale auftreten, nach dem
gesuchten Integral auflösen.
LG
|
|
|
|
