Integral mit Chauchy Formel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Mit der Chauchy Integralformel soll:
[mm] \integral_{|z|=1}{z*sin(z\*) dz} [/mm] berechnet werden
[mm] z\* [/mm] ist das komplex Konjugierte |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Integrale-mit-Chauchyscher-Integralformel
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Mein Lösungsversuch ist:
Es Handelt sich um eine Kreisscheibe um 0 mit Radius 1:
f(z)= [mm] z^2*sin((z)\*)
[/mm]
f(0)=0
Chauchyformel:
[mm] \integral_{|z|=1}{(z^2*sin(z\*))/(z-0) dz} =2*\pi*i*f(0)=0
[/mm]
Stimmt das?
Muss ich z nicht in [mm] \zeta [/mm] umbenenen, oder ist das egal?
Ich würde mich freuen, wenn man mir helfen könnte und mlöchte mich schon einmal im Vorraus für die hilfe bedanken.
Mit freundlichen Grüßen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 Mo 23.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Mit der Chauchy Integralformel soll:
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> [mm]\integral_{|z|=1}{z*sin(z\*) dz}[/mm] berechnet werden
>
> [mm]z\*[/mm] ist das komplex Konjugierte
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Integrale-mit-Chauchyscher-Integralformel
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> Mein Lösungsversuch ist:
>
> Es Handelt sich um eine Kreisscheibe um 0 mit Radius 1:
>
> f(z)= [mm]z^2*sin((z)\*)[/mm]
>
> f(0)=0
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> Chauchyformel:
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> [mm]\integral_{|z|=1}{(z^2*sin(z\*))/(z-0) dz} =2*\pi*i*f(0)=0[/mm]
>
> Stimmt das?
Das Ergebnis stimmt, Deine Argumentation aber nicht. Ist denn [mm] f(z)=z*\sin(\overline{z}) [/mm] holomorph ??
Es ist
$ [mm] \integral_{|z|=1}{z\cdot{} \sin(\overline{z}) dz} =\integral_{0}^{2 \pi}{e^{it} \sin(\bruch{1}{e^{it}})*i e^{it} dt}= \integral_{|z|=1}{z\cdot{} \sin(1/z) dz}$.
[/mm]
Die Funktion [mm] $z\cdot{} \sin(1/z) [/mm] $ hat in z=0 eine wesentliche Singularität. Wende also den Residuensatz an.
FRED
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> Muss ich z nicht in [mm]\zeta[/mm] umbenenen, oder ist das egal?
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> Ich würde mich freuen, wenn man mir helfen könnte und
> mlöchte mich schon einmal im Vorraus für die hilfe
> bedanken.
> Mit freundlichen Grüßen
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Auf dem Einheitskreis [mm]z \bar{z} = 1[/mm] gilt: [mm]\bar{z} = \frac{1}{z}[/mm]
Die Funktion [mm]f(z) = z \cdot \sin \bar{z} = z \cdot \sin \frac{1}{z}[/mm] mit [mm]|z|=1[/mm] ist als Produkt zweier ungerader Funktionen gerade: [mm]f(-z) = f(z)[/mm]. Bei der Substitution von [mm]z[/mm] durch [mm]-z[/mm] geht der Einheitskreis samt Orientierung in sich über. Man kann daher rechnen:
[mm]\int \limits_{|z|=1} f(z) ~ \mathrm{d}z = \int \limits_{|z|=1} f(-z) ~ \mathrm{d}(-z) = - \int \limits_{|z|=1} f(z) ~ \mathrm{d}z[/mm]
Es folgt: [mm]\int \limits_{|z|=1} f(z) ~ \mathrm{d}z = 0[/mm]
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