Integral über Dreieck < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Fr 27.04.2012 | | Autor: | eps |
| Aufgabe | | Wie sieht dieses Integral aus? Wie kann ich das anders aufschreiben und berechnen. Ich denke das ist ein Dreifach-Integral, aber mit welchen Grenzen? |
[mm] \integral_{\Delta}{(xa+yb+zc)^2}dF [/mm] mit [mm] \Delta=\{(x,y,z):x,y,z\ge 0, x+y+z=1\}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Fr 27.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wie sieht dieses Integral aus? Wie kann ich das anders
> aufschreiben und berechnen. Ich denke das ist ein
> Dreifach-Integral, aber mit welchen Grenzen?
> [mm]\integral_{\Delta}{(xa+yb+zc)^2}dF[/mm] mit
> [mm]\Delta=\{(x,y,z):x,y,z\ge 0, x+y+z=1\}[/mm]
Nein, das ist ein Integral über die Oberfläche eines Tetraeders mit Kantenlänge 1 und mit den Ecken in den Punkten $(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$.
Du fängst mit dem Integral über eine der drei Koordinaten an, z.B. x. Wegen [mm] $x,y,z\ge0$ [/mm] und [mm]x+y+z=1[/mm] liegen die möglichen Werte von x zwischen 0 und 1. Beim inneren Integral musst du berücksichtigen, dass [mm] $x+y\le [/mm] 1$ ist, also die obere Grenze $1-x$ sein muss.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Fr 27.04.2012 | | Autor: | eps |
versteh ich das dann richtig, dass es äquivalent zu folgendem ist:
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1-x}\integral_{0}^{1-x-y}{{{(xa+yb+zc)^2 dz}dy}dx}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Fr 27.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> versteh ich das dann richtig, dass es äquivalent zu
> folgendem ist:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1-x}\integral_{0}^{1-x-y}{{{(xa+yb+zc)^2 dz}dy}dx}[/mm]
Nein, wie ich schon schrieb ist es ein Oberflächenintegral. z ist doch durch die Bedingung $z=1-x-y$ bereits festgelegt!
[mm] \integral_{0}^{1}\left(\integral_{0}^{1-x}{{(xa+yb+(1-x-y)c)^2 dy}\right)dx}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 Fr 27.04.2012 | | Autor: | eps |
achso, ja, jetzt versteh ich es - vielen dank!
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