Integral über Urbild bestimm. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme: [mm] R*\integral_{B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)}^{}{\bruch{1}{\wurzel{R^2+x^2+y^2}}dxdy}
[/mm]
[mm] B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0) \subset \IR^2 [/mm] ist hier die Kreisscheibe im [mm] \IR^2 [/mm] mit Radius [mm] \bruch{R}{2} [/mm] um den Punkt [mm] (\bruch{R}{2},0) [/mm] |
Hallo. Ich habe eine knappe Musterlösung dazu aber verstehe etwas sehr wichtiges nicht. In der Musterlösung wird wird diese Abbildung benutzt um das Integral auszurechnen:
P: [mm] (-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2})\times (0,R)\to B_{R}(R,0) [/mm]
[mm] (\phi, r)\mapsto (rcos(\phi), rsin(\phi))
[/mm]
Das Bild von P enhält ja den Integrationsbereich also [mm] B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)\subset B_{R}(R,0) [/mm]
was ich daran nicht verstehe ist, wie man [mm] P^{-1}(B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)) [/mm] bestimmt. Denn das wird gemacht und das Integral wird zu:
[mm] R*\integral_{B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)}^{}{\bruch{1}{\wurzel{R^2+x^2+y^2}}dxdy}=R*\integral_{P^-1(B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0))}^{}{\bruch{r}{\wurzel{R^2+r^2}}drd\phi}=R*\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}\integral_{0}^{Rcos(\phi)}{\bruch{r}{\wurzel{R^2+r^2}}drd\phi}
[/mm]
Ich komme nicht drauf wie das funktioniert...
Wie kann man das erklären?
Gruß, kulli
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 So 24.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Bestimme:
> [mm]R*\integral_{B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)}^{}{\bruch{1}{\wurzel{R^2+x^2+y^2}}dxdy}[/mm]
>
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> [mm]B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0) \subset \IR^2[/mm] ist hier die
> Kreisscheibe im [mm]\IR^2[/mm] mit Radius [mm]\bruch{R}{2}[/mm] um den Punkt
> [mm](\bruch{R}{2},0)[/mm]
> Hallo. Ich habe eine knappe Musterlösung dazu aber
> verstehe etwas sehr wichtiges nicht. In der Musterlösung
> wird wird diese Abbildung benutzt um das Integral
> auszurechnen:
>
> P: [mm](-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2})\times (0,R)\to B_{R}(R,0)[/mm]
>
> [mm](\phi, r)\mapsto (rcos(\phi), rsin(\phi))[/mm]
> Das Bild von P
> enhält ja den Integrationsbereich also
> [mm]B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)\subset B_{R}(R,0)[/mm]
>
> was ich daran nicht verstehe ist, wie man
> [mm]P^{-1}(B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0))[/mm] bestimmt. Denn das
> wird gemacht und das Integral wird zu:
>
>
> [mm]R*\integral_{B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)}^{}{\bruch{1}{\wurzel{R^2+x^2+y^2}}dxdy}=R*\integral_{P^-1(B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0))}^{}{\bruch{r}{\wurzel{R^2+r^2}}drd\phi}=R*\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}\integral_{0}^{Rcos(\phi)}{\bruch{r}{\wurzel{R^2+r^2}}drd\phi}[/mm]
Der erste Schritt ist die Umwandlung von kartesischen auf Polarkoordinaten.
Im zweiten Schritt wird das dann enstandene Doppelintegral in den Polarkoordinaten aufgelöst, dort wird die Kreisscheibe zuerst über den Radius r und dann über den Winkel [mm] \Phi [/mm] aufgesplittet.
>
> Ich komme nicht drauf wie das funktioniert...
>
> Wie kann man das erklären?
>
> Gruß, kulli
Marius
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>
> > Bestimme:
> >
> [mm]R*\integral_{B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)}^{}{\bruch{1}{\wurzel{R^2+x^2+y^2}}dxdy}[/mm]
> >
> >
> > [mm]B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0) \subset \IR^2[/mm] ist hier die
> > Kreisscheibe im [mm]\IR^2[/mm] mit Radius [mm]\bruch{R}{2}[/mm] um den Punkt
> > [mm](\bruch{R}{2},0)[/mm]
> > Hallo. Ich habe eine knappe Musterlösung dazu aber
> > verstehe etwas sehr wichtiges nicht. In der Musterlösung
> > wird wird diese Abbildung benutzt um das Integral
> > auszurechnen:
> >
> > P: [mm](-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2})\times (0,R)\to B_{R}(R,0)[/mm]
> >
> > [mm](\phi, r)\mapsto (rcos(\phi), rsin(\phi))[/mm]
> > Das Bild
> von P
> > enhält ja den Integrationsbereich also
> > [mm]B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)\subset B_{R}(R,0)[/mm]
> >
> > was ich daran nicht verstehe ist, wie man
> > [mm]P^{-1}(B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0))[/mm] bestimmt. Denn das
> > wird gemacht und das Integral wird zu:
> >
> >
> >
> [mm]R*\integral_{B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)}^{}{\bruch{1}{\wurzel{R^2+x^2+y^2}}dxdy}=R*\integral_{P^-1(B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0))}^{}{\bruch{r}{\wurzel{R^2+r^2}}drd\phi}=R*\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}\integral_{0}^{Rcos(\phi)}{\bruch{r}{\wurzel{R^2+r^2}}drd\phi}[/mm]
>
> Der erste Schritt ist die Umwandlung von kartesischen auf
> Polarkoordinaten.
>
> Im zweiten Schritt wird das dann enstandene Doppelintegral
> in den Polarkoordinaten aufgelöst, dort wird die
> Kreisscheibe zuerst über den Radius r und dann über den
> Winkel [mm]\Phi[/mm] aufgesplittet.
Hi.
Was soll das denn bedeuten? Wieso ist die eine obere Integrationsgrenze [mm] R*cos(\Phi)? [/mm] Wie kommt man denn darauf?
Grüße, kulli
> >
> > Ich komme nicht drauf wie das funktioniert...
> >
> > Wie kann man das erklären?
> >
> > Gruß, kulli
>
> Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 So 24.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> >
> > > Bestimme:
> > >
> >
> [mm]R*\integral_{B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)}^{}{\bruch{1}{\wurzel{R^2+x^2+y^2}}dxdy}[/mm]
> > >
> > >
> > > [mm]B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0) \subset \IR^2[/mm] ist hier die
> > > Kreisscheibe im [mm]\IR^2[/mm] mit Radius [mm]\bruch{R}{2}[/mm] um den Punkt
> > > [mm](\bruch{R}{2},0)[/mm]
> > > Hallo. Ich habe eine knappe Musterlösung dazu aber
> > > verstehe etwas sehr wichtiges nicht. In der Musterlösung
> > > wird wird diese Abbildung benutzt um das Integral
> > > auszurechnen:
> > >
> > > P: [mm](-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2})\times (0,R)\to B_{R}(R,0)[/mm]
> > >
> > > [mm](\phi, r)\mapsto (rcos(\phi), rsin(\phi))[/mm]
> > > Das
> Bild
> > von P
> > > enhält ja den Integrationsbereich also
> > > [mm]B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)\subset B_{R}(R,0)[/mm]
> > >
> > > was ich daran nicht verstehe ist, wie man
> > > [mm]P^{-1}(B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0))[/mm] bestimmt. Denn das
> > > wird gemacht und das Integral wird zu:
> > >
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> > >
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> [mm]R*\integral_{B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)}^{}{\bruch{1}{\wurzel{R^2+x^2+y^2}}dxdy}=R*\integral_{P^-1(B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0))}^{}{\bruch{r}{\wurzel{R^2+r^2}}drd\phi}=R*\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}\integral_{0}^{Rcos(\phi)}{\bruch{r}{\wurzel{R^2+r^2}}drd\phi}[/mm]
> >
> > Der erste Schritt ist die Umwandlung von kartesischen auf
> > Polarkoordinaten.
> >
> > Im zweiten Schritt wird das dann enstandene Doppelintegral
> > in den Polarkoordinaten aufgelöst, dort wird die
> > Kreisscheibe zuerst über den Radius r und dann über den
> > Winkel [mm]\Phi[/mm] aufgesplittet.
>
> Hi.
> Was soll das denn bedeuten? Wieso ist die eine obere
> Integrationsgrenze [mm]R*cos(\Phi)?[/mm] Wie kommt man denn darauf?
>
> Grüße, kulli
Nimm dir mal den Einheitskreis her.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für die Koordinaten des Punktes P auf dem Einheitskreis gilt
[mm] x=\cos(\Phi) [/mm] und [mm] y=\cos(\Phi)
[/mm]
Hast du nun den Radius R und nicht 1, wie beim Einheitskreis, gilt:
[mm] x=R\cdot\cos(\Phi) [/mm] und [mm] y=R\cdot\cos(\Phi)
[/mm]
Das ist mit elementarster Trigonometrie zu erledigen.
Wie man über Polarkoordinaten integriert, ist unter ![[]](/images/popup.gif) diesem Video hervorragend erklärt.
Für weitere Informationen zu den Polarkoordinaten schau mal unter den mathematischen Basteleien.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo
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> > >
> > > > Bestimme:
> > > >
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> >
> [mm]R*\integral_{B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)}^{}{\bruch{1}{\wurzel{R^2+x^2+y^2}}dxdy}[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > [mm]B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0) \subset \IR^2[/mm] ist hier die
> > > > Kreisscheibe im [mm]\IR^2[/mm] mit Radius [mm]\bruch{R}{2}[/mm] um den Punkt
> > > > [mm](\bruch{R}{2},0)[/mm]
> > > > Hallo. Ich habe eine knappe Musterlösung dazu
> aber
> > > > verstehe etwas sehr wichtiges nicht. In der Musterlösung
> > > > wird wird diese Abbildung benutzt um das Integral
> > > > auszurechnen:
> > > >
> > > > P: [mm](-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2})\times (0,R)\to B_{R}(R,0)[/mm]
> > > >
> > > > [mm](\phi, r)\mapsto (rcos(\phi), rsin(\phi))[/mm]
> > > >
> Das
> > Bild
> > > von P
> > > > enhält ja den Integrationsbereich also
> > > > [mm]B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)\subset B_{R}(R,0)[/mm]
> > > >
> > > > was ich daran nicht verstehe ist, wie man
> > > > [mm]P^{-1}(B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0))[/mm] bestimmt. Denn das
> > > > wird gemacht und das Integral wird zu:
> > > >
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> >
> [mm]R*\integral_{B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)}^{}{\bruch{1}{\wurzel{R^2+x^2+y^2}}dxdy}=R*\integral_{P^-1(B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0))}^{}{\bruch{r}{\wurzel{R^2+r^2}}drd\phi}=R*\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}\integral_{0}^{Rcos(\phi)}{\bruch{r}{\wurzel{R^2+r^2}}drd\phi}[/mm]
> > >
> > > Der erste Schritt ist die Umwandlung von kartesischen auf
> > > Polarkoordinaten.
> > >
> > > Im zweiten Schritt wird das dann enstandene Doppelintegral
> > > in den Polarkoordinaten aufgelöst, dort wird die
> > > Kreisscheibe zuerst über den Radius r und dann über den
> > > Winkel [mm]\Phi[/mm] aufgesplittet.
> >
> > Hi.
> > Was soll das denn bedeuten? Wieso ist die eine obere
> > Integrationsgrenze [mm]R*cos(\Phi)?[/mm] Wie kommt man denn darauf?
> >
> > Grüße, kulli
>
> Nimm dir mal den Einheitskreis her.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Für die Koordinaten des Punktes P auf dem Einheitskreis
> gilt
> [mm]x=\cos(\Phi)[/mm] und [mm]y=\cos(\Phi)[/mm]
>
> Hast du nun den Radius R und nicht 1, wie beim
> Einheitskreis, gilt:
> [mm]x=R\cdot\cos(\Phi)[/mm] und [mm]y=R\cdot\cos(\Phi)[/mm]
>
> Das ist mit elementarster Trigonometrie zu erledigen.
>
> Wie man über Polarkoordinaten integriert, ist unter
> diesem Video hervorragend
> erklärt.
>
> Für weitere Informationen zu den Polarkoordinaten schau
> mal unter den
> mathematischen Basteleien.
>
> Marius
Das ist aber doch gar nicht das Problem! Wie man über Polar oder Kugelkoordinaten integriert weiß ich ja, aber nur wenn man über dem ganzen Bildbereich der Polarkoordinatenabbildung integriert. Hier ist es aber so, dass ich nur über einem kleineren Kreis integrieren soll, dessen Mittelpunkt nicht der Ursprung ist und der IN einem größeren Kreis liegt, welches das Bild der Polarkoordinatenabbildung ist. Das Problem ist also:
[mm] P^{-1}(B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)) [/mm]
zu bestimmen um an die Integrationsgrenzen zu kommen. Wie geht das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 So 24.02.2013 | | Autor: | leduart |
hallo.
mit den PolarKoordinaten [mm] r(\phi)=R*cos\phi -\pi/2le\phi\le \pi/2 [/mm] wird der Rand des Kreises um (R/2,0) mit Radius R/2 in Polarkoordinaten von (0,0) aus erfasst. und [mm] x³+y³=R^2
[/mm]
wenn r also von 0 bis [mm] R*cos\phi [/mm] läuft jast du das ganze Innere des Kreises in Richtung [mm] \phi [/mm] erfasst.
deshalb ist das Bild von Rex nicht sehr instruktiv.
sieh mal hier/ Dein Fehler
nicht $ [mm] B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)\subset B_{R}(R,0) [/mm] $
sondern $ [mm] B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0))= B_{R}(R,0) [/mm] $
[Dateianhang nicht öffentlich]
gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> hallo.
> mit den PolarKoordinaten [mm]r(\phi)=R*cos\phi -\pi/2le\phi\le \pi/2[/mm]
> wird der Rand des Kreises um (R/2,0) mit Radius R/2 in
> Polarkoordinaten von (0,0) aus erfasst. und [mm]x³+y³=R^2[/mm]
> wenn r also von 0 bis [mm]R*cos\phi[/mm] läuft jast du das ganze
> Innere des Kreises in Richtung [mm]\phi[/mm] erfasst.
> deshalb ist das Bild von Rex nicht sehr instruktiv.
> sieh mal hier/ Dein Fehler
> nicht [mm]B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)\subset B_{R}(R,0)[/mm]
> sondern [mm]B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0))= B_{R}(R,0)[/mm]
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> gruss leduart
>
Hallo, danke für die Ausführung, darauf wäre ich selber allerdings nicht gekommen.
Ich meinte eigentlich [mm] B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)\subset B_{R}(0,0)
[/mm]
Aber [mm] B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0))= B_{R}(R,0) [/mm] kann doch auch nicht sein. In der rechten Kreisscheibe ist ja z.B. der Punkt (2R,0), in der linken nicht.
Gruß kulli
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Mo 25.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> > hallo.
> > mit den PolarKoordinaten [mm]r(\phi)=R*cos\phi -\pi/2le\phi\le \pi/2[/mm]
> > wird der Rand des Kreises um (R/2,0) mit Radius R/2 in
> > Polarkoordinaten von (0,0) aus erfasst. und [mm]x³+y³=R^2[/mm]
> > wenn r also von 0 bis [mm]R*cos\phi[/mm] läuft jast du das
> ganze
> > Innere des Kreises in Richtung [mm]\phi[/mm] erfasst.
> > deshalb ist das Bild von Rex nicht sehr instruktiv.
> > sieh mal hier/ Dein Fehler
> > nicht [mm]B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)\subset B_{R}(R,0)[/mm]
> > sondern [mm]B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0))= B_{R}(R,0)[/mm]
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> >
> > gruss leduart
> >
>
> Hallo, danke für die Ausführung, darauf wäre ich selber
> allerdings nicht gekommen.
>
> Ich meinte eigentlich
> [mm]B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0)\subset B_{R}(0,0)[/mm]
>
> Aber [mm]B_{\bruch{R}{2}}(\bruch{R}{2},0))= B_{R}(R,0)[/mm] kann
> doch auch nicht sein.
Da hat sich leduart vertan.
Inseinem Bild ist R=4 falsch
Richtig : R=2
FRED
> In der rechten Kreisscheibe ist ja
> z.B. der Punkt (2R,0), in der linken nicht.
>
> Gruß kulli
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Di 26.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich meinte schon R=4 der Radius des Kreises um R/2 ist 2
du hattest
> > > P: $ [mm] (-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2})\times (0,R)\to B_{R}(R,0) [/mm] $
das ist mit [mm] \vektor{rcos\phi \\ rsin\phi}
[/mm]
[mm] -\pi/2<\phi<+\pi/2; [/mm] 0<r<R aber genau die Parametrisierung der Kreisscheibe um (R/2,0) mit Radius R/2
und nicht ein Vollkreis um 0 oder R oder...
das genau sollte meine Zeichnung zeigen
vielleicht ist die Bezeichnung [mm] B_{R}(R,0) [/mm] dafür sejr irreführend°
Gruss leduart
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