Integral von 1/ sqrt(1-x^2) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Mo 29.09.2008 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{-1}^{0}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx} [/mm] (Hinweis unstätig bei x=-1) |
Hallo,
habe diese Aufgabe teilweise durch substitution mit zb. $x=sin(u)$ probiert, bekomme aber immer komische sachen raus :-(
wie sollte man den Hinweis der unstätigkeit verstehen ? gibts da bestimmte ran gehensweise ???
Danke im Voraus.
mfg
masa
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Hallo masa-ru,
> [mm]\integral_{-1}^{0}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm] (Hinweis
unstätig bei x=-1)
Hmm, das heißt unstetig !
> Hallo,
>
> habe diese Aufgabe teilweise durch substitution mit zb.
> [mm]x=sin(u)[/mm] probiert, bekomme aber immer komische sachen raus
> :-(
Welche denn? Dieser Substitutionsansatz ist doch wunderbar
>
> wie sollte man den Hinweis der unstätigkeit verstehen ?
Unstetigkeit!
Das Problem an der unteren Grenze x=-1 ist, dass der Term [mm] $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ [/mm] für [mm] $x\downarrow [/mm] -1$ gegen den Ausdruck [mm] $\frac{1}{0}$ [/mm] strebt, also gegen [mm] $\infty$ [/mm] abhaut.
Das Ausgangsintegral ist also ein uneigentliches Integral:
du müsstest streng genommen [mm] $\lim\limits_{a\downarrow -1}\int\limits_{a}^{0}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx}$ [/mm] berechnen
> gibts da bestimmte ran gehensweise ???
ich würde mit deinem Substitutionsansatz das unbestimmte Integral, also ohne Grenzen, ausrechnen, dann resubstituieren, dann die alten Grenzen einsetzen, da gibt's keinen "Stress", so wie ich das auf die Schnelle überblicke
Also zeige mal, was du mit der Substitution [mm] $x=\sin(u)$ [/mm] so bekommst ...
>
> Danke im Voraus.
>
> mfg
> masa
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mo 29.09.2008 | | Autor: | masa-ru |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hallo schachuzipus,
unstetig hin unstätig her ^^
aber danke 
$ \integral_{-1}^{0}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx} $
$u=sin(u)$ => $dx = \bruch{du}{cos(u)}$
$ \integral_{-1}^{0}{\bruch{1}{\wurzel{\underbrace{1-sin(u)^2} * }_{=cos(u)^2}}* \bruch{du}{cos(u)} $
$ \integral_{-1}^{0}{\bruch{1}{\wurzel{cos(u)^2}} \bruch{du}{cos(u)} $
$ \integral_{-1}^{0}{\bruch{1}{cos(u)^2} *du} = tan(u)|^{0}_{-1}$
bzw wenn man rücksubsituiren muss:
obere grenze
$u(0) = sin(0) = 0$
untere grenze
$u(-1) = sin(-1) $
tan(u)|^{0}_{sin(-1)}$
dann hab ich
$\underbrace{ tan(\underbrace{sin(0)}_{=0})}_{=0} - tan(\underbrace{sin(-1)}_{=???})$
aber weis ned genau wie ich sin(-1) OHNE tachechrechner hin bekomme...
soweit ok ?
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Hallo, dir ist beim Umstellen ein Fehler unterlaufen,
x=sin(u)
[mm] \bruch{dx}{du}=cos(u)
[/mm]
dx=cos(u)*du
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mo 29.09.2008 | | Autor: | masa-ru |
hallo Steffi21,
danke dann geht es ja glatt auf
dann bekomme ich dies hier:
$ [mm] \integral_{-1}^{0}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx} [/mm] $
$ u=sin(u) $ => $ dx = cos(u)*du $
$ [mm] \integral_{-1}^{0}{\bruch{1}{\wurzel{\underbrace{1-sin(u)^2} \cdot{} }_{=cos(u)^2}}\cdot{}* cos(u)* du} [/mm] $
$ [mm] \integral_{-1}^{0}{\bruch{1}{\wurzel{cos(u)^2}} *cos(u)* du} [/mm] $
grenzen:
oben $u(0)=sin(0)=0$
unten $u(-1)=sin(-1)$
$ [mm] \integral_{sin(-1)}^{0}{\bruch{cos(u)}{cos(u)} \cdot{}du} [/mm] = [mm] \integral_{sin(-1)}^{0}{1* du}=sin(0)-sin(-1)$
[/mm]
haut das hin verzweifle an der sin(-1) :-(
tipp?
mfg
masa
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Hallo, du bekommst doch das unbestimmte Integral
[mm] \integral_{}^{}{ 1du}=u
[/mm]
jetzt resubstituieren mit
x=sin(u)
also u=arcsin(x)
jetzt mit den Grenzen
arcsin(0)-arcsin(-1)=
Hinweis: stelle deinen Taschenrechner auf Bogenmaß, du solltest 1,57...FE erhalten
Steffi
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Hallo zusammen,
wieso mit TR?
[mm] $\arcsin(0)=0$, $\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}$
[/mm]
Das ist genau genug, finde ich 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 Mo 29.09.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Ok, böse Falle von mir, ich verrate niemanden, dass ich den Taschenrechner genommen habe, ich werde mich bessern!! Steffi
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