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| Aufgabe | Berechne das folgende uneigendliche Integral, falls möglich
[mm] \integral_{1}^{\infty}{f(2e^{-x}) dx} [/mm] |
Hallo,
ich habe zwar die Lösung für diese Aufgabe, leider ist der Lösungsweg nur bruchstückhaft im Heft und ich verstehe ihn so nicht.
Mein Weg bisher
[mm] \integral_{1}^{\infty}{f(2e^{-x}) dx} [/mm] =
[mm] \limes_{a\rightarrow\infty} \integral_{1}^{a}{f(2e^{-x}) dx} [/mm] =
[mm] \limes_{a\rightarrow\infty} \begin{bmatrix} -2e^{-x}\end{bmatrix}
[/mm]
wobei am Ende der eckigen Klammer oben eine a ud unten eine 1 stehen muss (sorry ich habe nicht herausbekommen wie man das hier hinbekommt).
So richtig nachvllziehen ( d.h die notwendige Rechnung anstellen ) kann ich diesen Schritt nicht. Ich habe versucht eine Seite zu finden die mir erklärt wie man die Stammfunktion von [mm] e^{-x} [/mm] errechnet, leider fand ich nur welche, die mir [mm] e^{x} [/mm] erklärten.
Mein nächster Schritt sieht dann so aus:
[mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] (( [mm] -2e^{-a}) [/mm] - (- [mm] 2e^{-1}) [/mm] =
[mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] -2e^{-a}+2e^{-1})
[/mm]
Damit komme ich zu meinem nächsten Problem.
in der Lösung findet sich in diesem Schritt das Minus vor der ersten 2 nicht
[mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] 2e^{-a}+2e^{-1}).
[/mm]
Mir ist jedoch nicht klar, wie dieses verloren geht.
Damit zum, letzten Schritt, denn ich garnicht mehr nachvollziehen kann.
Als Ergebnis wird dann [mm] \bruch{2}{e}.
[/mm]
angegeben.
Ich verstehe aber schon nicht, wie ich hier subtrahieren muss. E-funtionen sind nicht gerade meine Stärke .
Es würde mich freuen, wenn sich jemand findet um mir die Problematik genau zu erläutern. Ausserdem würde ich mich über Hinweise zu Internettseiten freuen, welche den Umgang mit e -Funktionen und der eulerischen Zahl idiotensicher erklären.
Danke im voraus
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Hallo,
> Berechne das folgende uneigendliche Integral, falls
> möglich
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{f(2e^{-x}) dx}[/mm]
sicherlich meinst du dieses INtegral:
[mm] \int_{1}^{\infty}{2e^{-x} dx}
[/mm]
> ich habe zwar die Lösung für diese Aufgabe, leider ist
> der Lösungsweg nur bruchstückhaft im Heft und ich
> verstehe ihn so nicht.
>
> Mein Weg bisher
>
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{f(2e^{-x}) dx}[/mm] =
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty} \integral_{1}^{a}{f(2e^{-x}) dx}[/mm]
> =
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty} \begin{bmatrix} -2e^{-x}\end{bmatrix}[/mm]
>
> wobei am Ende der eckigen Klammer oben eine a ud unten eine
> 1 stehen muss (sorry ich habe nicht herausbekommen wie man
> das hier hinbekommt).
>
> So richtig nachvllziehen ( d.h die notwendige Rechnung
> anstellen ) kann ich diesen Schritt nicht. Ich habe
> versucht eine Seite zu finden die mir erklärt wie man die
> Stammfunktion von [mm]e^{-x}[/mm] errechnet, leider fand ich nur
> welche, die mir [mm]e^{x}[/mm] erklärten.
Leite einmal die Funktion g mit
[mm] g(x)=e^{-x}
[/mm]
zweimal ab, dann wird es dir klar werden, wie man zu obiger Stammfunktion kommt.
>
> Mein nächster Schritt sieht dann so aus:
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty}[/mm] (( [mm]-2e^{-a})[/mm] - (- [mm]2e^{-1})[/mm] =
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm]-2e^{-a}+2e^{-1})[/mm]
>
> Damit komme ich zu meinem nächsten Problem.
> in der Lösung findet sich in diesem Schritt das Minus vor
> der ersten 2 nicht
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm]2e^{-a}+2e^{-1}).[/mm]
> Mir ist jedoch nicht klar, wie dieses verloren geht.
Das zweifelst du auch völlig zu Recht an: die angegebene Lösung ist falsch, also deine Version richtig!
> Damit zum, letzten Schritt, denn ich garnicht mehr
> nachvollziehen kann.
> Als Ergebnis wird dann [mm]\bruch{2}{e}.[/mm]
> angegeben.
>
> Ich verstehe aber schon nicht, wie ich hier subtrahieren
> muss. E-funtionen sind nicht gerade meine Stärke .
>
Der Ausdruck [mm] e^{-a} [/mm] lässt sich bekanntlich umschreiben:
[mm] e^{-a}=\bruch{1}{e^a}
[/mm]
Lässt man nun a gegen [mm] \infty [/mm] streben, so wird unmittelbar klar, dass der erste Summand in deinem Limes gegen Null geht. Verbleibt der zweite Summand und der wurde eben genau auf die gleiche Art und Weise noch umgeschrieben:
[mm] 2e^{-2}=\bruch{2}{e^2}
[/mm]
> Es würde mich freuen, wenn sich jemand findet um mir die
> Problematik genau zu erläutern. Ausserdem würde ich mich
> über Hinweise zu Internettseiten freuen, welche den Umgang
> mit e -Funktionen und der eulerischen Zahl idiotensicher
> erklären.
Sie heißt die Eulersche Zahl. nach dem bedeutenden Schweizer Mathematiker ![[]](/images/popup.gif) Leonhard Euler. Vielleicht hilft dir dieser Artikel ein Stück weiter.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Di 07.01.2014 | | Autor: | Windbeutel |
Danke für deine Hilfe,
ich wäre nicht auf die Idee gekommen, dass im Heft der erste Summand, wegen seinem Streben nach Null, ohne weiteren Kommentar "verschluckt" wird.
Vielen Dank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Windbeutel!
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty} \begin{bmatrix} -2e^{-x}\end{bmatrix}[/mm]
>
> wobei am Ende der eckigen Klammer oben eine a und unten eine
> 1 stehen muss
> (sorry ich habe nicht herausbekommen wie man das hier hinbekommt).
[mm]\limes_{a\rightarrow\infty} \begin{bmatrix} -2*e^{-x}\end{bmatrix}_{1}^{a}[/mm]
Gruß
Loddar
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Danke dir.
Was ich jedoch meinte; welche Tastenabfolge ich eingeben muss, um die Zahlen oben und unten an die eckige Klammer zu bekommen.
Das konnte ich weder bei der ausführlichen Hilfe, noch unterhalb des eingabefeldes, bei den vorgefertigten Symbolen finden.
L.G.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Di 07.01.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Windbeutel!
Gehe doch einfach mal mit dem Mauszeiger über die Formel:
$ [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} \begin{bmatrix} -2\cdot{}e^{-x}\end{bmatrix}_{1}^{a} [/mm] $
Dann solltest Du am Ende das _{1}^{a} erkennen.
Gruß
Loddar
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