Integralberechnung/Beweis < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 So 13.04.2014 | | Autor: | Magehex |
| Aufgabe | | http://abload.de/img/aufgabenhqiu7.jpg |
Hallo, nächste Woche ist es wieder an der Zeit ein paar Übungsaufgaben abzugeben.
Ich hänge gerade bei ein paar Aufgaben fest.
Aufgabe 1.2
Ich dachte mir ich löse diese Aufgabe mit partieller Integration. Doch dann bekomme ich als Ergebnis -1+-1+-1+-1..., d.h. das Ergebnis bei mir wäre [mm] -\infty
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b} xf(x)f'(x)\, [/mm] dx Also partielle Integration
[f(x)f(x)x] - [mm] \integral_{a}^{b} f(x)*(f(x)+xf'(x))\, [/mm] dx
= [f(b)f(b)b - f(a)f(a)a] - ( [mm] \integral_{a}^{b} f(x)f(x)\, [/mm] dx + [mm] \integral_{a}^{b} xf'(x)*f(x)\, [/mm] dx)
da f(a) und f(b) = 0 und Integral f²(x)=1
= 0 - 1 + [mm] \integral_{a}^{b} xf'(x)*f(x)\, [/mm] dx
somit (0 - 1) + (0 - 1)... = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} [/mm] -1 = [mm] -\infty
[/mm]
Das glaub ich fast nicht, dass das richtig ist. Wo ist mein Fehler?
Aufgabe 1.4
a) [mm] \integral f(x)*1\, [/mm] dx
Mit partieller Integration:
xf(x)- [mm] \integral f'(x)x\, [/mm] dx
b) Hier weiß ich nichtmal einen Ansatz
Aufgabe 1.5
Hier bekomme ich [mm] \pi/2 [/mm] als Ergebnis. Stimmt das?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Magehex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 So 13.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
>
> [mm]\integral_{a}^{b} xf(x)f'(x)\,[/mm] dx Also partielle
> Integration
> [f(x)f(x)x] - [mm]\integral_{a}^{b} f(x)*(f(x)+xf'(x))\,[/mm] dx
> = [f(b)f(b)b - f(a)f(a)a] - ( [mm]\integral_{a}^{b} f(x)f(x)\,[/mm]
> dx + [mm]\integral_{a}^{b} xf'(x)*f(x)\,[/mm] dx)
> da f(a) und f(b) = 0 und Integral f²(x)=1
> = 0 - 1 + [mm]\integral_{a}^{b} xf'(x)*f(x)\,[/mm] dx
beachte -(a+b) = -a-b !
> somit (0 - 1) + (0 - 1)... = [mm]\sum_{k=0}^{\infty}[/mm] -1 =
> [mm]-\infty[/mm]
>
> Das glaub ich fast nicht, dass das richtig ist. Wo ist mein
> Fehler?
>
> Aufgabe 1.4
> a) [mm]\integral f(x)*1\,[/mm] dx
> Mit partieller Integration:
> xf(x)- [mm]\integral f'(x)x\,[/mm] dx
>
> b) Hier weiß ich nichtmal einen Ansatz
Benutze das Ergebnis von Teil a. und zeige den Rest durch Substitution x=g(y).
>
> Aufgabe 1.5
> Hier bekomme ich [mm]\pi/2[/mm] als Ergebnis. Stimmt das?
>
>
Ja, das stimmt.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 So 13.04.2014 | | Autor: | Magehex |
> > [mm]\integral_{a}^{b} xf(x)f'(x)\,[/mm] dx Also partielle
> > Integration
> > [f(x)f(x)x] - [mm]\integral_{a}^{b} f(x)*(f(x)+xf'(x))\,[/mm]
> dx
> > = [f(b)f(b)b - f(a)f(a)a] - ( [mm]\integral_{a}^{b} f(x)f(x)\,[/mm]
> > dx + [mm]\integral_{a}^{b} xf'(x)*f(x)\,[/mm] dx)
> > da f(a) und f(b) = 0 und Integral f²(x)=1
> > = 0 - 1 + [mm]\integral_{a}^{b} xf'(x)*f(x)\,[/mm] dx
>
> beachte -(a+b) = -a-b !
Ach ja, deswegen kam bei mir beim ersten Mal 0 raus, da es eine alternierende Reihe ist und sich die Summen gegenseitig kürzen. Den Fehler hab ich dann erst beim 2-ten mal reingebracht. Aber stimmt das? Ist 0 wirklich das Ergebnis?
> > Aufgabe 1.4
> > a) [mm]\integral f(x)*1\,[/mm] dx
> > Mit partieller Integration:
> > xf(x)- [mm]\integral f'(x)x\,[/mm] dx
> >
> > b) Hier weiß ich nichtmal einen Ansatz
>
> Benutze das Ergebnis von Teil a. und zeige den Rest durch
> Substitution x=g(y).
Das leuchtet mir ein. Allerdings hab ich gerade Schwierigkeiten mit der Substitution.
[mm] \integral_{f(a)}^{f(b)} f(x)\,dx [/mm] = bf(b)-af(a) - [mm] \integral_{f(a)}^{f(b)} xf'(x)\,dx
[/mm]
[xf(x)] - [mm] \integral_{f(a)}^{f(b)} xf'(x)\,dx
[/mm]
x=g(y)
bf(b)-af(a) - [mm] \integral_{f(a)}^{f(b)} g(y)f'(g(y))\,dx
[/mm]
Jetzt komm ich aber bei dem Integral auch nicht weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 So 13.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> > > [mm]\integral_{a}^{b} xf(x)f'(x)\,[/mm] dx Also partielle
> > > Integration
> > > [f(x)f(x)x] - [mm]\integral_{a}^{b} f(x)*(f(x)+xf'(x))\,[/mm]
> > dx
> > > = [f(b)f(b)b - f(a)f(a)a] - ( [mm]\integral_{a}^{b} f(x)f(x)\,[/mm]
> > > dx + [mm]\integral_{a}^{b} xf'(x)*f(x)\,[/mm] dx)
> > > da f(a) und f(b) = 0 und Integral f²(x)=1
> > > = 0 - 1 + [mm]\integral_{a}^{b} xf'(x)*f(x)\,[/mm] dx
> >
> > beachte -(a+b) = -a-b !
>
> Ach ja, deswegen kam bei mir beim ersten Mal 0 raus, da es
> eine alternierende Reihe ist und sich die Summen
> gegenseitig kürzen. Den Fehler hab ich dann erst beim
> 2-ten mal reingebracht. Aber stimmt das? Ist 0 wirklich das
> Ergebnis?
Nein.
I = 1 - I ergibt I = 1/2.
>
>
> > > Aufgabe 1.4
> > > a) [mm]\integral f(x)*1\,[/mm] dx
> > > Mit partieller Integration:
> > > xf(x)- [mm]\integral f'(x)x\,[/mm] dx
> > >
> > > b) Hier weiß ich nichtmal einen Ansatz
> >
> > Benutze das Ergebnis von Teil a. und zeige den Rest durch
> > Substitution x=g(y).
>
> Das leuchtet mir ein. Allerdings hab ich gerade
> Schwierigkeiten mit der Substitution.
>
Die Integrationsgrenzen der folgenden Zeilen müssen a und b sein !
>
> [mm]\integral_{f(a)}^{f(b)} f(x)\,dx[/mm] = bf(b)-af(a) -
> [mm]\integral_{f(a)}^{f(b)} xf'(x)\,dx[/mm]
>
> [xf(x)] - [mm]\integral_{f(a)}^{f(b)} xf'(x)\,dx[/mm]
> x=g(y)
> bf(b)-af(a) - [mm]\integral_{f(a)}^{f(b)} g(y)f'(g(y))\,dx[/mm]
>
> Jetzt komm ich aber bei dem Integral auch nicht weiter?
>
>
[mm] \integral_{f(a)}^{f(b)}{g(y) dy} [/mm] = [ g(y)=x , y=f(x) , dy = f'(x) dx ] = [mm] \integral_{a}^{b}{x*f'(x) dx}
[/mm]
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 13.04.2014 | | Autor: | Magehex |
> > > > = 0 - 1 + [mm]\integral_{a}^{b} xf'(x)*f(x)\,[/mm] dx
> > >
> > > beachte -(a+b) = -a-b !
> Nein.
> I = 1 - I ergibt I = 1/2.
Aber es ist doch -1? Müsste das Ergebnis dann nicht I=-1-I <=> I=-1/2 sein?
> [mm]\integral_{f(a)}^{f(b)}{g(y) dy}[/mm] = [ g(y)=x , y=f(x) , dy
> = f'(x) dx ] = [mm]\integral_{a}^{b}{x*f'(x) dx}[/mm]
>
> Gruß Sax.
Ich hab versucht deine Lösung nachzuvollziehen, kann es aber nicht.
Ich verstehe nicht was du mit dem g(y)=x machst.
Wenn ich das Substituiere:
[mm] \integral_{a}^{b}{g(y) dy}
[/mm]
x=g(y)
dx/dy = g'(y) <=> dy=dx/g'(y)
[mm] \integral_{a}^{b}{x*dx/g'(y)}
[/mm]
da ist schon wieder so ein Faktor der sich nicht kürzt, ich kann das nicht integrieren.
Sorry ich verstehs gerade überhaupt nicht.
Vielen dank für deine Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 So 13.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> > > > > = 0 - 1 + [mm]\integral_{a}^{b} xf'(x)*f(x)\,[/mm] dx
> > > >
> > > > beachte -(a+b) = -a-b !
> > Nein.
> > I = 1 - I ergibt I = 1/2.
>
> Aber es ist doch -1? Müsste das Ergebnis dann nicht I=-1-I
> <=> I=-1/2 sein?
Ja. Sax hat sich nur vertippt, aber das macht hier nichts. 
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 So 13.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Ich hab versucht deine Lösung nachzuvollziehen, kann es aber nicht.
> Ich verstehe nicht was du mit dem g(y)=x machst.
> Wenn ich das Substituiere:
> $ [mm] \integral_{a}^{b}{g(y) dy} [/mm] $
Hier sind die Integrationsgrenzen f(a) und f(b)
> x=g(y)
> dx/dy = g'(y) <=> dy=dx/g'(y)
> $ [mm] \integral_{a}^{b}{x\cdot{}dx/g'(y)} [/mm] $
> da ist schon wieder so ein Faktor der sich nicht kürzt, ich kann das nicht
> integrieren.
Beachte [mm] \bruch{1}{g'(y)}=f'(x)
[/mm]
Gruß Sax.
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:05 So 13.04.2014 | | Autor: | Magehex |
> Hi,
>
> > Ich hab versucht deine Lösung nachzuvollziehen, kann es
> aber nicht.
> > Ich verstehe nicht was du mit dem g(y)=x machst.
> > Wenn ich das Substituiere:
> > [mm]\integral_{a}^{b}{g(y) dy}[/mm]
>
> Hier sind die Integrationsgrenzen f(a) und f(b)
>
> > x=g(y)
> > dx/dy = g'(y) <=> dy=dx/g'(y)
> > [mm]\integral_{a}^{b}{x\cdot{}dx/g'(y)}[/mm]
> > da ist schon wieder so ein Faktor der sich nicht kürzt,
> ich kann das nicht
> > integrieren.
>
> Beachte [mm]\bruch{1}{g'(y)}=f'(x)[/mm]
>
> Gruß Sax.
Ja stimmt an das hab ich nicht gedacht.
Aber dennoch bringt es mich nicht weiter.
Ich hab jetzt also
bf(b)-af(a) - [mm] \integral_{a}^{b}{xf'(x)dx}
[/mm]
wie soll ich jetzt nach y=f(x) substituieren, wenn kein y mehr vorhanden ist?
Oder kann ich dass hier dann einfach ersetzen?
Also einfach nur anstelle der Parameter x,f(x),f'(x)dx schreibe ich g(y),y,dy?
x=g(y), y=f(x), dy=f'(x)dx
[mm] \integral_{a}^{b}{g(y)dy}
[/mm]
Bei x=g(y) ists mir vielleicht noch klar, da ich das vorher substituiert habe und nun rücksubstituiere.
Gehe ich bei dem y rückwärts vor, was auch erlaubt ist? Normalerweise beginne ich mit y=... und hier würde ich rückwärts gehen, da ich mit dy... beginne?
Und darf ich dann einfach so aus der Ober und Untergrenze [a,b] ein [f(a),f(b)] machen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 15.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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