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| Aufgabe | | [m] \int_0^{2\pi} \frac {1} {sin^4(x) + cos^4 (x)} [/m] |
Guten Abend,
ich suche (mal wieder) einen Ansatz dafür, hab bisher aber noch nichts gefunden, was mich wirklich weiter bringt.
Meine Idee wäre gewesen, das ganze via
[m] sin^2(x)/cos^2(x) = \frac {1 \pm cos(2x)} {2} [/m] (ich hab die Formel grad nicht ganz im Kopf, aber ich hoffe ihr wisst was ich meine) umzuschreiben. Allerdings lande ich sorum bei einer (wenn ich mich nicht verzählt habe) 3-fachen Substitution und das will ich mir nicht antun müssen, deswegen frag ich, ob jemand einen Ansatz für mich hat, ich rechne dann auch selbst.
Vielen dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:20 Mi 15.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
fang damit an im Nenner [mm] cos^4 [/mm] auszuklammern, dann [mm] 1/cos^2=tan^2+1 [/mm] und dann u=tanx substituieren.
Gruss leduart
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Ich komme dem mal nach, allerdings läuft mir da irgendwo ein Fehler rum den ich nicht sehe.
[m]\frac {1} {sin^4(x) + cos^4(x)}= \frac {1} {cos^4(x) * (\frac {sin^4(x)}{cos^4(x)}+1)} = \frac {(tan^2(x)+1)^2} {tan^4(x)+1} [/m]
mit u=tanx wäre das dann:
[m] \frac {(u^2+1)^2}{u^4+1} = \frac {u^4+2u^2+1}{u^4+1} [/m]
Wie mach ich jetzt damit weiter?
Ich würde den Term jetzt integrieren und dann schauen was rauskommt.
Vielen dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Mi 15.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich komme dem mal nach, allerdings läuft mir da irgendwo
> ein Fehler rum den ich nicht sehe.
>
> [m]\frac {1} {sin^4(x) + cos^4(x)}= \frac {1} {cos^4(x) * (\frac {sin^4(x)}{cos^4(x)}+1)} = \frac {(tan^2(x)+1)^2} {tan^4(x)+1}[/m]
>
> mit u=tanx wäre das dann:
> [m]\frac {(u^2+1)^2}{u^4+1} = \frac {u^4+2u^2+1}{u^4+1}[/m]
> Wie mach ich jetzt damit weiter?
> Ich würde den Term jetzt integrieren und dann schauen was
> rauskommt.
> Vielen dank
Mit der Substitution u=tan x bekommst Du [mm] dx=\bruch{du}{u^2+1} [/mm] und damit
[mm] \integral_{}^{}{ \frac {1} {sin^4(x) + cos^4(x)} dx}= \integral_{}^{}{ \frac {u^2+1} {u^4+1} du}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Killercat |
Ah okay, hab das umformen von dx bei einer substitution in der schule nie gemacht. Dann wollen wir mal schauen was man daraus machen kann...Ich meld mich wenn was sein sollte, danke soweit :)
Liebe Grüße
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