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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:34 Do 15.06.2006 | | Autor: | Dally |
| Aufgabe | Seien [mm]f,g : [a,b] \to \IR[/mm] und [mm]m := min\{f(x) | x \in [a,b]\}[/mm]
sowie [mm]M := max\{f(x) | x \in [a,b]\}[/mm].
Zeigen Sie:
(i) Es gibt ein [mm] \delta \in [a,b] [/mm] mit
[mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx} = f(\delta)*(b - a)[/mm]
(ii) Ist [mm]g(x) \ge 0[/mm] für alle [mm]x \in [a,b][/mm], so gibt es ein
[mm]\delta \in [a,b][/mm] mit
[mm]\integral_{a}^{b}{f(x)*g(x) dx} = f(\delta)*\integral_{a}^{b}{g(x) dx}[/mm] |
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zu (i)
[mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx} = f(\delta)*(b - a)[/mm]
Zwischenwertsatz:
[mm]
m*(b - a) = \integral_{a}^{b}{mdx} \le \integral_{a}^{b}{f(x)dx} \le \integral_{a}^{b}{Mdx} = M*(b - a)[/mm]
[mm] \rightarrow m*(b - a) \le \integral_{a}^{b}{f(x)dx} \le M*(b - a) [/mm]
Also liegt der Wert [mm]\bruch{1}{b - a} \le \integral_{a}^{b}{f(x)dx}[/mm] zwischen m und M.
Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein [mm]\delta[/mm] mit [mm]f(\delta)= \bruch{1}{b - a}\integral_{a}^{b}{f(x)dx}[/mm]
Und hier weiß ich nicht weiter, falls das bis hierhin überhaupt richtig ist.
Wäre nett wenn ihr da mal kurz drüber gucken könntet.
Bin für jeden Hinweis/Tipp dankbar.
Bei Aufgabenteil (ii) weiß ich gar nicht weiter.
Mfg
Dally
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 17.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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