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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 22:08 So 15.06.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | Berechne:
a) [mm] \integral_{-1}^{2}{(x^{2}+1)\cdot\\e^{x}dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{1}{x^{3}\cdot\\e^{x} dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{x^{2}\cdot\\cos(x) dx}
[/mm]
d) [mm] \integral_{1}^{e}{x\cdot\\ln(x) dx}
[/mm]
Berechne das Integral und gib eine Stammfunktion zum Integranden an:
a) [mm] \integral_{0}^{1}{x\cdot(x^{2}+3)^{4} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{-1}^{2}{x\cdot\\e^{x^{2}} dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{-\pi}^{0}{cos(x)\cdot(sin(x))^{3} dx}
[/mm]
d) [mm] \integral_{0}^{1}{sin(x)\cdot\\e^{cos(x)} dx}
[/mm]
e) [mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{x^{2}}{x^{3}+1} dx}
[/mm]
f) [mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} dx}
[/mm]
Berechne eine Stammfunktion zu f:
a) [mm] f(x)=\bruch{3x+2}{x\cdot(x+1)}
[/mm]
b) [mm] f(x)=\bruch{x+8}{(x-2)\cdot(x+3)}
[/mm]
c) [mm] f(x)=\bruch{2x+3,1}{10x^{2}+3x-1}
[/mm]
d) [mm] f(x)=\bruch{-k}{x^{2}-k^{2}} [/mm] |
Quelle: Elemente der Mathematik
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Hallo Tyskie!
Nachdem ich durch meine im Buch angegebenen Übungsaufgaben etwas Routine erlangt habe,(Was bei der Integralrechnung ja bitter nötig ist!) traue ich mich nun an diese Aufgaben ran.
Meine Vorschläge wären:
a)
v' = [mm] e^x [/mm] v= [mm] e^x
[/mm]
u= [mm] x^2+1 [/mm] u' = 2x
[mm]\integral{(x^2+1)*e^x dx}=e^x*(x^+1)-\integral{2x*e^x dx}[/mm]
v'= [mm] e^x v=e^x
[/mm]
u = 2x u' = 2
[mm]\integral{e^x*2x dx}=2x*e^x-\integral{2*e^x dx}= 2*e^x(x-1)[/mm]
Einsetzen eribt: [mm]\integral{(x^2+1)*e^x dx}=e^x*(x^2+3-2x)[/mm]
Wert: 20,409
b)
v' = [mm] e^x v=e^x
[/mm]
u= [mm] x^3 [/mm] u' = [mm] 3x^2
[/mm]
[mm]\integral{x^3*e^x dx} = e^x*x^3 - \integral{e^x*3x^2 dx}[/mm]
v = [mm] e^x [/mm] v' = [mm] e^x
[/mm]
u = [mm] 3x^2 [/mm] u' = 6x
[mm]\integral{e^x*3x^2 dx} = 3x^2*e^x -\integral{6x*e^x dx}[/mm]
v'= [mm] e^x [/mm] v = ^x
u = 6x u' = 6
[mm]\integral{6x*e^x dx} = 6x*e^x- \integral{6*e^x dx}[/mm]
Durch Einsetzen: [mm]\integral{x^3*e^x dx}=e^x*(x^3-3x^2+6x-6)[/mm]
Nullstellen: x = 0
W. = -5,4365
c)
v' = cos(x) v = sin(x)
u= [mm] x^2 [/mm] u'=2x
[mm] \integral{x^2*cos(x) dx}= x^2*sin(x) -\integral{2x*sin(x) dx}
[/mm]
v' = sin(x) v = -cos(x)
u = 2x u' = 2
[mm] \integral{2x*sin(x) dx}= -cos(x)*2x-\integral{-2cos(x) dx}
[/mm]
Ich erhalte:[mm] x^2*sin(x) +2x*cos(x)-2*sin(x)[/mm]
Wert=0,934
d)
v' = x v = [mm] \bruch{x^2}{2}
[/mm]
u = ln(x) u' = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] \integral{x*ln(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{x^2}{2}*ln(x)-\integral{\bruch{x}{2} dx}=\bruch{x^2}{2}*ln(x)-\bruch{x^2}{4} [/mm] = [mm] \bruch{x^2}{2}(ln(x)-\bruch{1}{2})
[/mm]
Nullstellen : [mm] x_1 [/mm] =0 [mm] x_2 [/mm] =1
W. = 2,097
a)
[mm] x^2+3 [/mm] = z
z' [mm] =\bruch{dz}{dx} [/mm] = 2x
dz = 2x dx
[mm] \integral{z^4*\bruch{dz}{2x}}/ [/mm] x wegkürzen.
[mm] \bruch{1}{2}*\inegral{z^4 dz} [/mm] Stimmt das formal so?
Resubst. [mm] \bruch{(x^2+3)^5}{10}
[/mm]
Wert = 21,1
b)
[mm] x^2 [/mm] = z
z'= [mm] \bruch{dz}{dx}=2x [/mm]
dx = [mm] \bruch{dz}{2x}
[/mm]
[mm] \integral{x*e^z*\bruch{dz}{2x}} [/mm] /x kürzen
[mm] \bruch{1}{2}*\integral{e^z dz}
[/mm]
Stammfunktion: [mm] e^z*\bruch{1}{2}
[/mm]
Resubst. [mm] \bruch{e^{x^2}}{2}
[/mm]
Da bei x=0 eine Nullstelle:
[mm] \integral_{0}^{2}{e^{x^2} dx}+\integral_{-1}^{0}{e^{x^2} dx}
[/mm]
|26,799-0,5|+|0,5-1,35914|
Wert=27,65814
c)
v' = cos(x) v= sin(x)
u = [mm] sin^3(x) [/mm] u = [mm] 3*sin^2(x)*cos(x)
[/mm]
[mm] \integral{cos(x)*sîn^3(x) dx}=sin^4(x)-3\integral{sin^3(x)*cos(x) dx} /+3\integral{sin^3(x)*cos(x) dx} [/mm] /:4
= [mm] \integral{cos(x)*sîn^3(x) dx}= \bruch{sin^4(x)}{4}
[/mm]
Wert=0
d)
cos(x) = z
z'=-sin(x)= [mm] \bruch{dz}{dx}
[/mm]
[mm] \integral{sin(x)*e^z*\bruch{dz}{-sin(x)}} [/mm] /sin(x) kürzen
Resubst.
[mm] -e^{cos(x)}+C
[/mm]
Wert= 0,000413
e)
[mm] (x^3+1)=z
[/mm]
z'= [mm] 3x^2=\bruch{dz}{dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}*\integral{\bruch{1}{z} dz}
[/mm]
Resubst. [mm] \bruch{1}{3}*ln|x^3+1|+C
[/mm]
Wert=0,501
f)
[mm] e^x+e^{-x}=z
[/mm]
z'= [mm] e^x-e^{-x}
[/mm]
Resubst.
[mm] ln|e^x+e^{-x}|+c
[/mm]
Wert=0
a)
3x +2 = [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x+1}
[/mm]
A= 2
B= 1
[mm] 2*\integral{\bruch{1}{x} dx} +\integral{\bruch{1}{x+1} dx}
[/mm]
= [mm] ln|(x^2*(x+1))|+C
[/mm]
b)
x+8 = [mm] \bruch{A}{x-2}+\bruch{B}{x+3}
[/mm]
A = 2
B=-1
[mm] ln|\bruch{(x-2)^2}{(x+3)}|+C
[/mm]
c)
Nullstellen(Nennerpolynom) mithilfe ABC-Formel: [mm] x_1=0,2 x_2=-0,5
[/mm]
2x+3,1=A(x+0,5)+B(x-0,2)
A= 5
B=-3
[mm] ln|\bruch{(x-0,2)^5}{(x+0,5)^3}|+C
[/mm]
d)
Nullstellen(N.P) durch Zerlegung in Linearfaktoren: [mm] x_1=-k x_2=k
[/mm]
B=0,5
A=-0,5
[mm] 0,5*ln|\bruch{(x+k)}{(x-k)}|+C
[/mm]
Vielen Dank für deine Hilfe! 
Gruß
Angelika
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