Integrale rationaler Funktion? < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Di 03.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, wie muss ich denn vorgehen, um die Integrale folgender rationaler Funktionen zu berechnen?
a) [mm] \integral_{}^{}{\bruch{3x^{3}+3x^{2}-11x+7}{(x^{2}-2x+1)(x^{2}+1)} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{5}{\bruch{2x^{4}+3x^{3}+9x^{2}+5x+7}{1+x^{2}} dx}
[/mm]
Danke für Hilfe im voraus
lg Surfer
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Hallo Surfer,
> Hallo, wie muss ich denn vorgehen, um die Integrale
> folgender rationaler Funktionen zu berechnen?
>
> a)
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{3x^{3}+3x^{2}-11x+7}{(x^{2}-2x+1)(x^{2}+1)} dx}[/mm]
>
> b)
> [mm]\integral_{0}^{5}{\bruch{2x^{4}+3x^{3}+9x^{2}+5x+7}{1+x^{2}} dx}[/mm]
>
> Danke für Hilfe im voraus
>
> lg Surfer
bei (a) mache mal eine Partialbruchzerlegung:
Den Nenner kannst du schreiben als [mm] $(x^2-2x+1)(x^2+1)=(x-1)^2(x^2+1)$
[/mm]
Damit ergibt sich für die PBZ der Ansatz [mm] $\bruch{3x^{3}+3x^{2}-11x+7}{(x^{2}-2x+1)(x^{2}+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$
[/mm]
Führe mal diese PBZ durch, dann kannst du dein Integral in die Summe dreier Integrale aufspalten, die "griffbarer" sind
Bei der (b) ist ja der Zählergrad höher als der Nennergrad, mache also zuerst mal eine Polynomdivision.
Den gebrochenrationalen Rest, der bleibt, kannst du mit einer naheliegenden Substitution erschlagen, du wirst sehen...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:12 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok, also wenn ich bei der a) den term in Partialbrüche zerlege, dann erhalte ich praktisch die Integrale:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{-0,5}{x-1} dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{2,5}{(x-1)^{2}}dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{3,5x+7}{x^{2}+1}dx}
[/mm]
stimmt dies bis dahin?
Und bei der b) komme ich irgendwie nicht weiter, wie muss ich die Polynomdivision machen von [mm] 2x^{4}+3x^{3}+9x^{2}+5x+7 [/mm] : [mm] (x^{2}+1) [/mm] oder? das führt irgendwie auf kein gescheites Ergebnis bei mir!
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:57 Mi 04.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok, also wenn ich bei der a) den term in Partialbrüche
> zerlege, dann erhalte ich praktisch die Integrale:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-0,5}{x-1} dx}[/mm] + [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{2,5}{(x-1)^{2}}dx}[/mm]
> + [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{3,5x+7}{x^{2}+1}dx}[/mm]
>
> stimmt dies bis dahin?
Da hast du dich verrechnet, denn wenn ich wieder auf den Hauptnenner bringe und ausmultipliziere, kommt
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{3x^{3}+3x^{2}-11x+\red{10}}{(x^{2}-2x+1)(x^{2}+1)} dx} [/mm]
heraus.
> Und bei der b) komme ich irgendwie nicht weiter, wie muss
> ich die Polynomdivision machen von
> [mm]2x^{4}+3x^{3}+9x^{2}+5x+7[/mm] : [mm](x^{2}+1)[/mm] oder? das führt
> irgendwie auf kein gescheites Ergebnis bei mir!
Was hast du denn heraus?
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:00 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Bis auf $D_$ habe ich andere Werte heraus. Und es sind bei mir alles glatte Werte (ausschließlich natürliche Zahlen).
Bei der 2. Aufgabe darfst Du nicht erwarten, dass die  Polynomdivision aufgeht. Hier verbleibt auch ein gebrochen-rationaler Restterm.
Aber wie Rainer schon schrieb: wie lautet Dein Ergebnis?
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:16 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Also gerade bei der a) habe ich doch als LGS zu lösen um A,B,C,D herauszubekommen folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 | 3 \\ -1 & 1 & -2 & 1 | 3 \\ 1 & 0 & 1 & -2 | -11 \\ -1 & 1 & 0 & 1 | 7 }
[/mm]
oder? oder liegt hier schon mein Fehler?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Wie Du auf dies LGS kommst, ist mir nicht klar ... aber selbst damit erhalte ich ganz schnell, dass gelten muss: $C \ = \ 2 \ [mm] \not= [/mm] \ 3.5$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Surfer |
ok hatte mich im LGS verrechnet! Aber habe dann jetzt die drei integrale einzel zu lösen:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x-1} dx} \integral_{}^{}{\bruch{1}{(x-1)^{2}} dx} \integral_{}^{}{\bruch{2x+7}{x^{2}+1} dx}
[/mm]
oder? Und mach am besten 3 mal Substitution oder?
lg Surfer
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mmh, das ist ja alles schön und gut, aber du solltest doch einmal das tafelwerk bemühen, um einige stammintegrale nachzuschlagen;) und dazu nimm doch bei dem dritten integral nochmal ne polynomdivision;)...
aber wenn du das net willst, ist dreimal substitution das richtige, obwohl ich das beim dritten integral auf keinen fall machen würde!!!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Also für die ersten beiden Integrale bekomme ich dann heraus: ln(x-1) und fürs zweite [mm] \bruch{-1}{(x-1)} [/mm] aber beim dritten komme ich immer noch nicht weiter Substitution ist zu kompliziert und Polynomdivisoin geht doch gar nicht wenn die Potenz des nenners größer ist als die des Zählers oder?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Surfer,
> Also für die ersten beiden Integrale bekomme ich dann
> heraus: ln(x-1)
hier musst du noch Betragstriche setzen [mm] ln\text{|}x-1\text{|}
[/mm]
> und fürs zweite [mm]\bruch{-1}{(x-1)}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber beim
> dritten komme ich immer noch nicht weiter Substitution ist
> zu kompliziert und Polynomdivisoin geht doch gar nicht wenn
> die Potenz des nenners größer ist als die des Zählers
> oder?
ja, da hast du recht; Polynomivision geht nicht - aber du kannst das Integral noch auseinanderziehen, denn:
[mm] \bruch{a+b}{c}=\bruch{a}{c}+\bruch{b}{c}
[/mm]
dann bekommst du wieder zwei Standardintegrale
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Also wenn ich das letzte Integral aufteile in zwei Integrale bekomme ich ja:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x}{x^{2}+1} dx} [/mm] und das wäre integriert [mm] [ln|x^{2}+1|] [/mm]
und als zweites Integral habe ich dann noch [mm] \integral_{}^{}{\bruch{7}{x^{2}+1} dx} [/mm] wie muss ich jedoch dies integrieren?
lg Surfer
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Hallo Surfer,
> Also wenn ich das letzte Integral aufteile in zwei
> Integrale bekomme ich ja:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2x}{x^{2}+1} dx}[/mm] und das wäre
> integriert [mm][ln|x^{2}+1|][/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Die Betragstriche kannst du sogar weglasse, da [mm] $x^2+1>0$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$
[/mm]
> und als zweites Integral habe ich dann noch
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{7}{x^{2}+1} dx}[/mm] wie muss ich jedoch
> dies integrieren?
>
> lg Surfer
Das kannst du zunächst mal umschreiben zu [mm] $7\cdot{}\int{\frac{1}{x^2+1} \ dx}$
[/mm]
Und das Integral [mm] $\int{\frac{1}{x^2+1} \ dx}$ [/mm] steht in jedem Tafelwerk...
Wenn du Lust hast, kannst du es dir mit der Substitution [mm] $x:=\tan(u)$ [/mm] auch selber "zu Fuß" herleiten...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Ah ok und das ist dann 7*[arctan(x)] !
Wie ist es nun bei der b) Aufgabe? Wenn ich die Polynomdivision mache erhalte ich ja:
[mm] 2x^{4}+3x^{3}+9x^{2}+5x+7 [/mm] : [mm] (x^{2}+1) [/mm] = [mm] 2x^{2}+3x+7 [/mm] und als rest 2x?
Gibt es da kein einfacheres Vorgehen?
lg Surfer
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Hallo!
> Ah ok und das ist dann 7*[arctan(x)] !
Richtig!
> Wie ist es nun bei der b) Aufgabe? Wenn ich die
> Polynomdivision mache erhalte ich ja:
>
> [mm]2x^{4}+3x^{3}+9x^{2}+5x+7[/mm] : [mm](x^{2}+1)[/mm] = [mm]2x^{2}+3x+7[/mm] und als
> rest 2x?
Das sieht richtig aus. Man schreibt:
[mm]2x^{4}+3x^{3}+9x^{2}+5x+7 = 2x^{2}+3x+7+\bruch{2x}{x^{2}+1}[/mm]
> Gibt es da kein einfacheres Vorgehen?
Nein, eigentlich macht man da immer erst Polynomdivision und danach Partialbruchzerlegung. Das ist ja wichtig, weil du mit Zählergrad > Nennergrad keine Partialbruchzerlegung durchführen kannst.
Und guck mal: Da oben brauchst du sogar gar keine Partialbruchzerlegung!
> lg Surfer
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Also könnte ich jetzt folgendermaßen integrieren:
[mm] \integral_{0}^{5}{2x^{2}+3x+7 dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{5}{\bruch{2x}{x^{2}+1} dx}
[/mm]
oder?
lg Surfer
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Hallo nochmal,
> Also könnte ich jetzt folgendermaßen integrieren:
>
> [mm]\integral_{0}^{5}{2x^{2}+3x+7 dx}[/mm] + [mm]\integral_{0}^{5}{\bruch{2x}{x^{2}+1} dx}[/mm]
ganz genau, dann mal ran 
>
> oder?
>
> lg Surfer
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok das bringt mich auf [mm] [\bruch{2}{3}x^{3} [/mm] + [mm] \bruch{3}{2} x^{2} [/mm] +7x] und [mm] [ln(x^{2}+1)] [/mm] und wenn ich die Schranken nun einsetzte erhalte ich [mm] \bruch{935}{6} [/mm] + ln(26) was ungefähr 159,09 wäre!
oder?
lg Surfer
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Hallo nochmal,
> Ok das bringt mich auf [mm][\bruch{2}{3}x^{3}[/mm] + [mm]\bruch{3}{2} x^{2}[/mm] +7x] und [mm][ln(x^{2}+1)][/mm] und wenn ich die Schranken nun
> einsetzte erhalte ich [mm]\bruch{935}{6}[/mm] + ln(26) was ungefähr
> 159,09 wäre!
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Bestens!
>
> oder?
>
> lg Surfer
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:43 Fr 06.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi, mal ne kurze Frage, woher weiss ich wie der Partialbruch zu zerlegen ist, gibt es da ne gute Internetseite mit regeln?
lg Surfer
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