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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Do 04.01.2007 | | Autor: | nina13 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(t)=(t-2)^2 [/mm] ; [mm] t\varepsilon\IR
[/mm]
Es sei [mm] J_{a}(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] die Integralfunktion von f zur unteren Grenze a [mm] (a\varepsilon\IR).
[/mm]
a) Skizzieren Sie in einem Koordinatensystem den Graphen von f und die Graphen von zwei verschiedenen Integralfunktionen von f.
b) Weisen Sie nach, dass [mm] J_{a} [/mm] keine Extremstellen und genau eine Wendestelle hat. |
Hallo!
Ich bräuchte mal ganz dringen eure Hilfe! Und zwar muss ich ja bei Aufgabe a) erstmal die Integralfunktionen bestimmen...nur wie geht das?
Ist die Integralfunktion gleich die Stammfunktion? Denn genau das gibt mein Buch als eine der beiden möglichen Lösungen an!
Außerdem ist mir im Allgemeinen nicht so ganz klar, was die Integralfunktion denn nun genau ist. Ich weiß nur, dass die untere Grenze a fest, die obere Grenze variabel ist.
Ich hoffe, dass mir jemand halfen kann!
Schonmal Danke im Vorraus, Nina
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> Gegeben ist die Funktion f mit [mm]f(t)=(t-2)^2[/mm] ;
> [mm]t\varepsilon\IR[/mm]
>
> Es sei [mm]J_{a}(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt}[/mm] die
> Integralfunktion von f zur unteren Grenze a
> [mm](a\varepsilon\IR).[/mm]
>
> a) Skizzieren Sie in einem Koordinatensystem den Graphen
> von f und die Graphen von zwei verschiedenen
> Integralfunktionen von f.
>
> b) Weisen Sie nach, dass [mm]J_{a}[/mm] keine Extremstellen und
> genau eine Wendestelle hat.
> Hallo!
[mm] $\rmfamily \text{Hi.}$
[/mm]
>
> Ich bräuchte mal ganz dringen eure Hilfe! Und zwar muss ich
> ja bei Aufgabe a) erstmal die Integralfunktionen
> bestimmen...nur wie geht das?
[mm] $\rmfamily \text{Es gibt eine Reihe von Regeln zum Integrieren. Das ist die inverse Operation des Differenzierens ("`Ableiten rückwärts"').}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Was weißt du denn über das bilden der Stammfunktion einer Funktion?}$
[/mm]
> Ist die Integralfunktion gleich die Stammfunktion? Denn
> genau das gibt mein Buch als eine der beiden möglichen
> Lösungen an!
[mm] $\rmfamily \text{Meinem vorherigen Satz kannst du entnehmen, dass Integral- und Stammfunktion in der Tat dasselbe darstellen.}$
[/mm]
>
> Außerdem ist mir im Allgemeinen nicht so ganz klar, was die
> Integralfunktion denn nun genau ist. Ich weiß nur, dass die
> untere Grenze a fest, die obere Grenze variabel ist.
>
[mm] $\rmfamily \text{Bildest du die Ableitung }f'\left(t\right){ von }f\left(t\right)\text{, nämlich }f'\left(t\right)=2\left(t-2\right)\text{, so ist in diesem Falle }f\left(t\right)\text{ eine Stammfunktion von }f'\left(t\right)\text{. Klar?}$
[/mm]
> Ich hoffe, dass mir jemand halfen kann!
> Schonmal Danke im Vorraus, Nina
[mm] $\rmfamily \text{Grüße, Stefan.}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Do 04.01.2007 | | Autor: | nina13 |
Danke, das Bestimmen der Stammfunktion ist eigentlich kein Problem. Die wäre hier ja dann [mm] F(x)=\bruch{1}{3}x^3-2x^2+4x
[/mm]
Dann hätte ich ja schonmal eine Lösung.
Könnte ich nun für eine weitere Lösung einfach noch irgendwas "anhängen", z.B. [mm] \bruch{1}{3}x^3-2x^2+4x+3 [/mm] ????
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> Danke, das Bestimmen der Stammfunktion ist eigentlich kein
> Problem. Die wäre hier ja dann
> [mm]F(x)=\bruch{1}{3}x^3-2x^2+4x[/mm]
>
> Dann hätte ich ja schonmal eine Lösung.
>
> Könnte ich nun für eine weitere Lösung einfach noch
> irgendwas "anhängen", z.B. [mm]\bruch{1}{3}x^3-2x^2+4x+3[/mm] ????
[mm] $\rmfamily \text{Richtig, das ist die berühmte Konstante }c\text{, weswegen man auch immer sagt, dass man "'eine"' Stammfunktion}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{von }f\text{ bildet. Du kannst an einem beliebigen Beispiel sehen, dass du jedes beliebige }c\in \IR\text{ anhängen kannst.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Das }a\text{ bei der Integralfunktion muss nicht zwingend fest sein -- setze mal eine Grenze für }x\text{ und eine für }a\text{ ein.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily J_{3}\left(4\right)=\int\limits^{4}_{3}f\left(t\right)\,\mathrm{d}t$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Jetzt mal einfach zu der Stammfunktion diese Konstante hinzuschreiben.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily J_{3}\left(4\right)=\int\limits^{4}_{3}f\left(t\right)\,\mathrm{d}t=\left[\bruch{1}{3}t^3-2t^2+4t\red{+c}\right]$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Jetzt die Regel zum Einsetzen von Grenzen anwenden:}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily J_{3}\left(4\right)=\int\limits^{4}_{3}f\left(t\right)\,\mathrm{d}t=\left[\bruch{1}{3}t^3-2t^2+4t\red{+c}\right]=\bruch{64}{3}-32+16\red{+c}-\left(\bruch{27}{3}-18+12\red{+c}\right)$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Jetzt erkennst du leicht, dass, egal wie du }c\text{ wählst, es durch Subtraktion immer wegfällt.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Gruß, Stefan.}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Do 04.01.2007 | | Autor: | nina13 |
Jetzt muss ich nochmal blöd fragen:
Meine Lösung stimmt, oder?
Falls das der Fall ist, vielen Dank!
Und wie löse ich Aufgabe b)?
Hier fehlt mir irgendwie völig der Ansatz.
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> Jetzt muss ich nochmal blöd fragen:
>
> Meine Lösung stimmt, oder?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Falls das der Fall ist, vielen Dank!
>
> Und wie löse ich Aufgabe b)?
>
> Hier fehlt mir irgendwie völig der Ansatz.
[mm] $\rmfamily \text{Die Stammfunktion auf Extrem- und Wendestellen untersuchen.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Stefan.}$
[/mm]
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