Integralgleichung beweisen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Do 10.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Dies ist eine Aufgabe aus der Analysis 3 Klausur, die ich leider nicht bestanden habe, vielleicht kann ich diese Aufgabe mit Eurer Hilfe lösen.
Zur Aufgabe:
Sei [mm] f:[0,1]\to \IR [/mm] stetig.
Zeigen Sie: [mm] \limes_{k\to\infty} \integral_0^1 f(x^k) dx=f(0) [/mm] |
Ich habe leider keine Ahnung, wie diese Aufgabe zu zeigen ist. Ganz vage kann ich - aufgrund des Limes vor dem Integral - nur vermuten, dass es mit dem Satz von der monotonen Konvergenz oder mit dem Satz von der dominierten Konvergenz zusammen hängt.
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar, vielleicht klappt es dann mit der Nachklausur.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Do 10.03.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!!
> Dies ist eine Aufgabe aus der Analysis 3 Klausur, die ich
> leider nicht bestanden habe, vielleicht kann ich diese
> Aufgabe mit Eurer Hilfe lösen.
>
> Zur Aufgabe:
>
> Sei [mm]f:[0,1]\to \IR[/mm] stetig.
>
> Zeigen Sie: [mm]\limes_{k\to\infty} \integral_0^1 f(x^k) dx=f(0)[/mm]
>
>
> Ich habe leider keine Ahnung, wie diese Aufgabe zu zeigen
> ist. Ganz vage kann ich - aufgrund des Limes vor dem
> Integral - nur vermuten, dass es mit dem Satz von der
> monotonen Konvergenz oder mit dem Satz von der dominierten
> Konvergenz zusammen hängt.
Ja das stimmt. [mm] f(x^k)[/mm] konvergiert wegen der Stetigkeit von f fast überall gegen f(0). Außerdem nimmt f als stetige Funktion auf dem kompakten Intervall [0,1] ein Maximum an; damit hast du dann deine Majorante, und du kannst den Satz von Lebesgue anwenden.
>
> Über Hilfe wäre ich sehr dankbar, vielleicht klappt es
> dann mit der Nachklausur.
Das wird schon!
Beste Grüße,
Berieux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Do 10.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
> Hi!!
>
> > Dies ist eine Aufgabe aus der Analysis 3 Klausur, die ich
> > leider nicht bestanden habe, vielleicht kann ich diese
> > Aufgabe mit Eurer Hilfe lösen.
> >
> > Zur Aufgabe:
> >
> > Sei [mm]f:[0,1]\to \IR[/mm] stetig.
> >
> > Zeigen Sie: [mm]\limes_{k\to\infty} \integral_0^1 f(x^k) dx=f(0)[/mm]
>
> >
> >
> > Ich habe leider keine Ahnung, wie diese Aufgabe zu zeigen
> > ist. Ganz vage kann ich - aufgrund des Limes vor dem
> > Integral - nur vermuten, dass es mit dem Satz von der
> > monotonen Konvergenz oder mit dem Satz von der dominierten
> > Konvergenz zusammen hängt.
> Ja das stimmt. [mm]f(x^k)[/mm] konvergiert wegen der Stetigkeit von
> f fast überall gegen f(0).
Das habe ich leider nicht verstanden, ist da das Folgenkriterium für Stetigkeit gemeint?
Außerdem nimmt f als stetige
> Funktion auf dem kompakten Intervall [0,1] ein Maximum an;
> damit hast du dann deine Majorante, und du kannst den Satz
> von Lebesgue anwenden.
>
> >
> > Über Hilfe wäre ich sehr dankbar, vielleicht klappt es
> > dann mit der Nachklausur.
> Das wird schon!
>
> Beste Grüße,
> Berieux
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Do 10.03.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
Ja, wenn du ein x festhälst ist [mm] x^k [/mm] eine Folge, und aus der Stetigkeit von f folgt [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}f(x^k)=f(\limes_{k\rightarrow\infty}x^k) [/mm].
Grüße,
Berieux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Do 10.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Jetzt verstehe ich nur nicht, warum dies fast überall gilt. |
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Do 10.03.2011 | | Autor: | Berieux |
Naja, für welche x konvergiert denn [mm] x^k [/mm] gegen 0?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Do 10.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ah, jetzt verstehe ich!
Nur für alle [mm] 0\leq [/mm] x<1. |
Ich danke dir, ich glaube, die Aufgabe ist mir nun klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Do 10.03.2011 | | Autor: | Berieux |
Genau. Du musst die 1 noch rausnehmen. Das ist aber eine Nullmenge, und also ist alles in Ordnung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Fr 11.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Trotz allem fällt es mir ein bisschen schwer, den Satz über die dominierte Konvergenz bei dieser Aufgabe wiederzuerkennen. |
Dieser lautet ja:
"Seien [mm] f_n:S\to \IR [/mm] messbare Funktionen, und für alle [mm] s\in [/mm] S existiere [mm] f(s):=\limes_n f_n(s). [/mm] Falls eine integrierbare Funktion [mm] g:S\to [0,\infty] [/mm] mit [mm] |f_n|\leq [/mm] g für alle n existiert, so gelten:
a) Die [mm] f_n [/mm] und f sind integrierbar,
b) [mm] \integral_S |f_n-f|d\mu\to [/mm] 0,
c) [mm] \limes_{n\to\infty} \integral_S f_n d\mu=\integral_s [/mm] f [mm] d\mu. [/mm] "
Was sind hier die [mm] f_n?
[/mm]
Was ist hier g?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Fr 11.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Trotz allem fällt es mir ein bisschen schwer, den Satz
> über die dominierte Konvergenz bei dieser Aufgabe
> wiederzuerkennen.
> Dieser lautet ja:
>
> "Seien [mm]f_n:S\to \IR[/mm] messbare Funktionen, und für alle [mm]s\in[/mm]
> S existiere [mm]f(s):=\limes_n f_n(s).[/mm] Falls eine integrierbare
> Funktion [mm]g:S\to [0,\infty][/mm] mit [mm]|f_n|\leq[/mm] g für alle n
> existiert, so gelten:
>
> a) Die [mm]f_n[/mm] und f sind integrierbar,
> b) [mm]\integral_S |f_n-f|d\mu\to[/mm] 0,
> c) [mm]\limes_{n\to\infty} \integral_S f_n d\mu=\integral_s[/mm] f
> [mm]d\mu.[/mm] "
>
>
> Was sind hier die [mm]f_n?[/mm]
[mm] f_n(x):=f(x^n)
[/mm]
> Was ist hier g?
Da f auf [0,1] stetig ist, ist f auf diesem Intervall beschränkt. Also ex. ein c>0 mit
[mm] $f(x)|\le [/mm] c$ für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1]
Setze g(x):=c
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Fr 11.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Eine weitere kleine Frage, die ich noch habe:
Für x=1 kommt ja nicht als Limes f(0) heraus.
Ich habe noch nicht verstanden, wieso dieser Fall trotzdem irrelevant ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Fr 11.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Eine weitere kleine Frage, die ich noch habe:
>
> Für x=1 kommt ja nicht als Limes f(0) heraus.
>
> Ich habe noch nicht verstanden, wieso dieser Fall trotzdem
> irrelevant ist.
Die Funktionenfolge [mm] (f_n) [/mm] muß nur fast überall auf S konvergieren
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Fr 11.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Wurde der Satz dann unsauber formuliert? Denn da steht ja nichts davon...
Wie ärgerlich!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Fr 11.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wurde der Satz dann unsauber formuliert? Denn da steht ja
> nichts davon...
>
> Wie ärgerlich!
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_majorisierten_Konvergenz
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Sa 12.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Du kannst es auch so sehen:
[mm] (f_n) [/mm] konvergiert auf [0,1] gegen
[mm] h(x):=\begin{cases} f(0), & \mbox{} 0 \le x <1 \\ f(1), & \mbox{ } x=1 \end{cases}
[/mm]
h hat nun schöne Eigenschaften: h ist messbar, h ist integrierbar und [mm] \integral_{0}^{1}{h(x) dx}=0
[/mm]
FRED
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