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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Fr 03.02.2006 | | Autor: | Gwin |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{x*ln(x^5)} dx} [/mm] |
hallo nochmal...
bei dieser aufgabe habe ich zwei lösungen weiß aber nicht welche davon richtig und welche falsch ist und warum die falsche falsch ist...
hier meine lösungen:
Lösung 1:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{x*ln(x^5)} dx} =\integral_{}^{}{\bruch{2}{x*5*ln(x)} dx}=\bruch{2}{5}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{x*ln(x)} dx}
[/mm]
Substitution:
u=ln(x) , [mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{x} [/mm] --> dx = x du
--> [mm] \bruch{2}{5}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{x*u} x du}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{5}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{u} du}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{5}*ln(u)+c
[/mm]
Resubst.:
= [mm] \bruch{2}{5}*ln(ln(x))+c
[/mm]
Lösung 2:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{x*ln(x^5)} dx} [/mm]
Subst.:
u = [mm] ln(x^{5}) [/mm] , [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{5}{x} [/mm] --> dx= [mm] \bruch{x}{5} [/mm] du
--> [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{x*u} \bruch{x}{5} du} [/mm]
= [mm] \bruch{2}{5}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{u} du}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{5}*ln(u)+c
[/mm]
Resubst.:
= [mm] \bruch{2}{5}*ln(ln(x^{5}))+c
[/mm]
Es unterscheidet sich ja darin das es einmal x und einmal [mm] x^{5} [/mm] ist aber ich habe null ahnung warum...
mfg Gwin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Fr 03.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Gwin,
beide Ergebnisse sind Stammfunktionen, denn sie unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante:
[mm] $\bruch{2}{5}\ln{(\ln{(x^{5})})}=\bruch{2}{5}\ln{(5\ln{(x)})}=\bruch{2}{5}(\ln{(5)}+\ln{(\ln{(x)})})=\bruch{2}{5}\ln{(\ln{(x)})}+\bruch{2}{5}\ln{(5)}=\bruch{2}{5}\ln{(\ln{(x)})}+C$.
[/mm]
Alles klar? Ansonsten bitte nochmal nachfragen!
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Fr 03.02.2006 | | Autor: | Gwin |
ok das habe ich verstanden...
vielen dank Yuma...
vieleicht hast du dann ja nochmal nen denkanstoß für folgende aufgabe für mich...
[mm] \integral_{}^{}{(1+cos(x)^{2})*sin(2x) dx}
[/mm]
mfg Gwin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Fr 03.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Gwin,
ich bin noch nicht lange hier im Matheraum, aber ich glaube, dass man solche "Zusatzfragen", die mit der Ausgangsfrage nichts zu tun haben, lieber als neue Frage posten sollte.
Trotzdem ein kleiner Hinweis: 
Substituiere doch mal [mm] $u(x)=1+(\cos{x})^{2}$. [/mm] Wenn du jetzt noch bedenkst, dass es für [mm] $\sin{(2x)}=\sin{(x+x)}$ [/mm] evtl. ein Additionstheorem gibt, sollte das Ganze funktionieren...
Stell die Frage aber bitte nochmal extra ins Forum, falls du mit dem Tipp nichts anfangen kannst, ok?
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Fr 03.02.2006 | | Autor: | Gwin |
hi Yuma...
ja es stimmt schon das man dafür eigentlich nen neue frage anfangen sollte...
... aber trotzdem danke für den hinweiss :)...
habe dann so substituiert wie du es gesagt hattest...
dx = 1/(2sin(x)*cos(x))
dann sin(2x) = 2sin(x)*cos(x)
am ende bleibt dann [mm] \integral_{}^{}{u dx} [/mm] = 1/2 [mm] u^{2} [/mm] = [mm] 1/2(1+cos(x)^{2})^{2}=1/2 [/mm] + [mm] cos(x)^{4}
[/mm]
ist das richtig ?
mfg Gwin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Fr 03.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Gwin,
das ist fast richtig...
1. Du hast ein Minus vergessen: [mm] $du=-2\sin{x}\cos{x}dx$.
[/mm]
2. Die Stammfunktion [mm] $-\bruch{1}{2}(1+(\cos{x})^{2})^{2}$ [/mm] kann man nicht so umformen, wie du es im letzten Schritt getan hast (Binomische Formel!!!)
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Fr 03.02.2006 | | Autor: | Gwin |
ach verdammt immer diese sch*** flüchtigkeitsfehler...
dann vielen dank Yuma...
mfg Gwin
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