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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Do 08.06.2006 | | Autor: | MonoTon |
| Aufgabe 1 | | [mm] \integral_{ }^{ }{ \bruch{x}{(x^2+1)^{2}} dx} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] \integral_{ }^{ }{\wurzel{1+x^2} dx} [/mm] |
hallo,
habe ein problem mit den integralen da oben...hilfe!!
habe morgen schularbeit..X/
wenn ich die innere fkt. linear substituiereund alles sinn gemäß ausrechne komme ich auf folgende lösung1:
[mm] \bruch{2}{3x}(x^2+1)^{-3}
[/mm]
im lösungsbuch steht folgendes
- [mm] \bruch{1}{2(x^2+1)}+c
[/mm]
und ich habe keine ahnung wie jene leute die das gerechnet haben darauf kommen.. denn es steht kein lösungsweg dabei.
aufgabe 2:
bin hier auf folgende lösung gekomen:
[mm] \bruch{2}{3x}\wurzel{(1+x^2)^3}
[/mm]
habe die innere funktion unter der wurzel subst. und für dx eingesetzt..
im lösungsheft steht aber
[mm] \bruch{1}{2}(x\wurzel{1+x^2}+ln|x+ \wurzel{1+x^2}|)+c
[/mm]
:/
wie kann man denn erkennen wie man ein integral am besten (und vor allem richtig) lösen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Do 08.06.2006 | | Autor: | Tequila |
Hallo !
Zur ersten Aufgabe:
ich hoffe das Quadrat im Zähler bezieht sich auf das x
sonst ist meine Rechnung falsch ;)
also:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^{2}}{x^{2}+1} dx}
[/mm]
schreib ihn einfach um als
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^{2}+1-1}{x^{2}+1} dx}
[/mm]
nun kannst du kürzen!
hast also 1 + [mm] \bruch{-1}{x^{2}+1}
[/mm]
Dies kannst du in 2 verschiedene Integrale aufteilen, aber ich denke von da an wirst du selber weiterkommen.
Als Lösung sollte dann x-arctan(x) rauskommen
ich versteh deine Lösung leider nicht, sicher das diese richtig ist?
(Wenn das Quadrat zum gesamten Term gehört sollte [mm] \bruch{arctan(x)}{2} [/mm] - [mm] \bruch{x}{2(x^{2}+1)} [/mm] rauskommen. Falls dem so ist sag bitte bescheid dann versuch ichs dir noch vorzurechnen!)
zum zweiten Integral:
multipliziere mal mit [mm] \bruch{\wurzel{1+x^2}}{\wurzel{1+x^2}}
[/mm]
dann kommt was mit arcsinh(x) raus
[mm] ln(x+\wurzel{x^{2}+1}) [/mm] = arsinh(x)
kennst du diese Beziehungen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Do 08.06.2006 | | Autor: | MonoTon |
oje, oje, da hat sich ein fehler in die angabe eingeschlichen!
habe sie korrigiert.. sorry!
dein rechenbeispiel ist auch sehr aufschlussreich wenn die aufgabenstellung so gewesen wäre, aber:
wie ist das gemeint?
//schreib ihn einfach um als
//$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^{2}+1-1}{x^{2}+1} dx} [/mm] $
//nun kannst du kürzen!
//hast also 1 + $ [mm] \bruch{-1}{x^{2}+1} [/mm] $
da bleibt doch
[mm] \bruch{x^{2}}{x^{2}+1}
[/mm]
übrig, wie kommst du auf das?
*verwirrt bin* is schon spät, ich geh schlafen.
werde morgen früh nochmal rein schauen.
vielen dank aber für deine hilfe!
lg
mono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:30 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> oje, oje, da hat sich ein fehler in die angabe
> eingeschlichen!
> habe sie korrigiert.. sorry!
> dein rechenbeispiel ist auch sehr aufschlussreich wenn die
> aufgabenstellung so gewesen wäre, aber:
>
> wie ist das gemeint?
>
> //schreib ihn einfach um als
> //[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^{2}+1-1}{x^{2}+1} dx}[/mm]
> //nun
> kannst du kürzen!
> //hast also 1 + [mm]\bruch{-1}{x^{2}+1}[/mm]
>
> da bleibt doch
> [mm]\bruch{x^{2}}{x^{2}+1}[/mm]
> übrig, wie kommst du auf das?
>
> *verwirrt bin* is schon spät, ich geh schlafen.
> werde morgen früh nochmal rein schauen.
>
> vielen dank aber für deine hilfe!
>
> lg
> mono
es ist:
[mm] \bruch{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}=\bruch{x^{2}+1}{x^{2}+1}+\bruch{-1}{x^{2}+1}=1+\bruch{-1}{x^{2}+1}=1-\bruch{1}{x^{2}+1}
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Fr 09.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]\integral_{ }^{ }{ \bruch{x}{(x^2+1)^{2}} dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{ }^{ }{\wurzel{1+x^2} dx}[/mm]
> hallo,
>
> habe ein problem mit den integralen da oben...hilfe!!
> habe morgen schularbeit..X/
> wenn ich die innere fkt. linear substituiereund alles sinn
> gemäß ausrechne komme ich auf folgende lösung1:
Da hast du irgenwo differenziert statt integriert!
Substitution : [mm] x^{2}+1=y, [/mm] dy=2x*dx
damit [mm] \integral{\bruch{1}{2*y^2} dy}=\bruch{1}{2y}+c
[/mm]
> [mm]\bruch{2}{3x}(x^2+1)^{-3}[/mm]
>
> im lösungsbuch steht folgendes
> - [mm]\bruch{1}{2(x^2+1)}+c[/mm]
Wahrscheinlixh nur dieselbe Subst wie du, aber dann wirklich integriert! Bein Integrieren WÄCHST der exponent, aus -2 wird -1 =-2+1 aus 2 wird 3=2+1!
> und ich habe keine ahnung wie jene leute die das gerechnet
> haben darauf kommen.. denn es steht kein lösungsweg dabei.
>
> aufgabe 2:
>
> bin hier auf folgende lösung gekomen:
> [mm]\bruch{2}{3x}\wurzel{(1+x^2)^3}[/mm]
> habe die innere funktion unter der wurzel subst. und für
> dx eingesetzt..
Also [mm] y=1+x^2 [/mm] dy=2x*dx
Da dann aber dx=1/2x*dy und [mm] x=\wurzel{y-1} [/mm] wird dein Integral sicher nicht dein Ergebnis.
> im lösungsheft steht aber
> [mm]\bruch{1}{2}(x\wurzel{1+x^2}+ln|x+ \wurzel{1+x^2}|)+c[/mm]
>
> :/
>
> wie kann man denn erkennen wie man ein integral am besten
> (und vor allem richtig) lösen kann?
Obs richtig ist, erkennt man, wenn man das Ergebnis differenziert! Das hilft oft, dumme Fehler zu finden!
Die einfachste methode gibts nicht! und schon gar nicht am morgen von ner Arbeit!
Viel Erfolg!
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 So 18.06.2006 | | Autor: | MonoTon |
hi!
also deine antwort auf 1. bsp sieht einleuchtend aus,
werd das gleich mal nachrechnen!
aber was meinst du genau mit dieser antwort?
> Also [mm]y=1+x^2[/mm] dy=2x*dx
> Da dann aber dx=1/2x*dy und [mm]x=\wurzel{y-1}[/mm] wird dein
> Integral sicher nicht dein Ergebnis.
> > im lösungsheft steht aber
> > [mm]\bruch{1}{2}(x\wurzel{1+x^2}+ln|x+ \wurzel{1+x^2}|)+c[/mm]
>
wie kann ich das dann weiterbearbeiten nachdem ich rücksubst. habe?
welche lsg stimmt denn jetzt?
ist die lösung aus dem lösungsbuch richtig?
ich habe es jetzt nocheinmal durchgerechnet:
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\wurzel{1+x^{2}}dx}
[/mm]
hab ich substituiert wie du gesagt hast,
dann bekomme ich dx= [mm] \bruch{du}{2x}
[/mm]
dann wird aus dem integral
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{}^{}{u^{\bruch{1}{2}}dx}
[/mm]
wenn ich das integriere lautet das ergebnis
[mm] \bruch{1}{2}u^\bruch{3}{2} \bruch{2}{3}
[/mm]
weil ja 1/2 +1=3/2 ist und man das beim differenzieren dann kürzen muss kommt noch der faktor [mm] \bruch{2}^{3} [/mm] dazu.
stimmt das?
mfG
mono
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Mo 19.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo MonoTon
Ich hatte nicht gemeint, dass deine oder meine Substitution gut war, ich wollte dir nur deinen Fehler zeigen.
die beste Substitution hier ist x=sinht wenn du sinh kennst.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 Mo 19.06.2006 | | Autor: | MonoTon |
ne...! 
so wars ja auch nicht gemeint.
ich wollte nur wissen obs denn jetzt stimmt,
werd einfach mal die probe machen.
gruß
mono
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