Integralrechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:13 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Loon |
Hallo,
Ich habe keine konkrete Frage zu einer Aufgabe, sondern allgemein zur Integralrechnung. Ich habe festgestellt, dass ich große Teile der Integralrechnung überhaut nicht verstanden habe. Das einzige das ich verstanden habe ist eigentlich das Trapezverfahren, um die Fläche unter dem Graphen zu berechnen. Aus der Mathebank dieses Forums bin ich auch nciht wirklich schlau geworden.
Wie berechne ich zum Beispiel die Ober- und Untersumme, und was genau beschreibt der Mittelwert dieser Summen eigentlich? Erhalte ich damit auch die ungefähre Fläche einer Säule, bzw. einer "Treppenstufe"?
Ich wäre echt für jeden Tipp dankbar, oder auch für links zu Homepages, auf denen die Integralrechnung erklärt wird.....
danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Fr 24.11.2006 | | Autor: | thisby |
Hallo,
Angenommen du willst die Fläche zwischen einer Kurve f(x) und der x- Achse in einem bestimmten Intervall I = [a,b] berechnen. Bei der Sehnen Trapez Regel zerteilst du dazu I in eine bestimmte Anzahl n Teilintervalle [mm] [x_{i},x_{i+1}], [/mm] i=0..n-1. Für jedes Teilintervall bestimmst du dann die Funktionswerte der Intervallgrenzen, also [mm] f(x_{i}), [/mm] und [mm] f(x_{i+1}). [/mm] Mit diesen Werten und der Intervallänge [mm] \bruch{|a-b|}{n} [/mm] kannst du dann die Fläche jedes einzelnen Trapezes berechnen.
[mm] A_{i+1}=\bruch{|f(x_{i})-f(x_{i+1})|}{2}\*\bruch{|a-b|}{n}
[/mm]
Die Summe aller Trapeze ergibt dann eine Fläche die näherungsweise der tatsächlichen Fläche zwischen f(x) und der x-Achse entspricht.
Es sollte dir unbedingt klar sein warum die trapezförmigen Teilflächen die tatsächliche Fläche nur näherungsweise darstellen (eigenhändige Skizze)!!
Willst du die Fläche über den Mittelwert der Unter- und Obersumme bestimmen fuktioniert das ähnlich.
Dabei versuchst du die tatsächliche Fläche durch Rechtecke abzuschätzen.
Zunächst erzeugst du dazu Rechtecke die unter dem Funktionsgraphen Platz finden. Im Teilintervall [mm] [x_{i},x_{i+1}] [/mm] bestimmst du dazu wieder die Funktionswerte der Intervallgrenzen, also [mm] f(x_{i}), [/mm] und [mm] f(x_{i+1}) [/mm] und nimmst den kleineren der beiden als Höhe des Rechteckes.
Kurzer Einschub:
Handelt es sich um eine monoton wachsende Funktion f(x), z.B. [mm] x^{2} [/mm] im Intervall [1,5], so befindet sich der größere Funktionswert immer bei der oberen Grenze des Teilintervalles. Nehmen wir also der Einfachheit halber ab hier an: f(x) ist monoton wachsend in I, d.h. also [mm] f(x_{i})< f(x_{i+1}) [/mm] für alle i.
Die Intervallbreite ist wieder [mm] \bruch{|a-b|}{n}. [/mm] Die Teilfläche [mm] A_{Ui+1} [/mm] ergibt sich dann zu [mm] f(x_{i}) \*\bruch{|a-b|}{n}. [/mm] Machst du das für alle Teilintervalle und addierst sie zu einer Gesamtfläche, so erhältst du eine Summe von Teilflächen, die sicher kleiner ist als die tasächliche Fläche unter dem Funktionsgraphen. Man nennt diese Summe deshalb auch Untersumme.
Umgekehrt lassen sich Rechtecke der Fläche
[mm] A_{Oi+1}=f(x_{i+1}) \*\bruch{|a-b|}{n} [/mm] erzeugen deren Fläche zusammen eine Summe ergibt die sicher größer ist als die tatsächliche Fläche. Diese Summe nennt man auch Obersumme.
Der Mittelwert ergibt sich aus [mm] \bruch{A_{Oi+1}-A_{Ui+1}}{2} [/mm] für jedes Teilintervall.
Auch das solltest du dir an einer selbst erstellten Zeichnung veranschaulichen! Nimm z.B. f(x) := [mm] \bruch{x^{2}}{2}, [/mm] und betrachte die Fläche im Intervall [1,4] mittels Unter- und Obersumme. Die Frage nach dem Zusammenhang von Treppenstufe, Unter- und Obersumme sollte sich dann klären.
|
|
|
|
