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Hallo erstmal!!!
Ich hab ein großes problem: Blackout oder auch vergessen :((
Ich will eine Aufgabe lösen nur mir bereitet die Tangente ein großes peroblem, sodass ich keinen Ansatz finde.
Es geht um folgende Aufgabe:
Der Graph der Funktion [mm] f(x)=x^3+x^2 [/mm] schließt mit der Tangente an der Stelle 2 und der 1. Achse eine Fläche ein.
Berechne den Flächeninhalt.
Heißt das dass ich die Fläche über 2,0 berechnen muss???
Ich wäre euch dankbar wenn ihr mir auf die Sprünge helft und mir das auch mit der Tangente erklärt. Irgendwie find ich auch nix in meinen Unterlagen.
MfG
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:13 Di 22.02.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
Hallo NRWFistigi,
> Der Graph der Funktion [mm]f(x)=x^3+x^2[/mm] schließt mit der
> Tangente an der Stelle 2 und der 1. Achse eine Fläche ein.
>
> Berechne den Flächeninhalt.
> Heißt das dass ich die Fläche über 2,0 berechnen muss???
Genau, aber du willst ja den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen (ich geh mal davon aus, dass du mit "1. Achse" die y-Achse meinst):
[mm]A=| \integral_{0}^{2} {(f(x)-t(x)) dx}|[/mm]
t(x) ist die Tangente.
Jetzt brauchst du also noch die Tangentengleichung. Die allgemeine Geradengleichung lautet ja: y=m*x+b
Du musst also b und m bestimmen. Die Steigung (m) der Tangente ist gleich der Steigung von f bei x=2. Also: m=f'(2)
Außerdem weißt du, dass die Tangente f bei x=2 berührt, also auf dem Punkt P(2/f(2)) liegt. Diesen kannst du nun in die Tangentengleichung einsetzen und nach b auflösen:
12=f'(2)*2+b [mm] \Rightarrow [/mm] b=12-2*f'(2)
Kommst du von hier aus alleine weiter?
Grüße,
Chris
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Mi 23.02.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
Hallo Loddar,
> [...]
> Funktionsgraphen berechnen (ich geh mal davon aus, dass du
> mit "1. Achse" die y-Achse meinst):
> [...]
Wenn mit "1. Achse" die x-Achse gemeint ist, dann trifft meine Antwort natürlich nicht zu. Ansonsten kann ich keinen Fehler erkennen.
Grüße,
Chris
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Di 22.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo NRWFistigi!
In die Antwort von Chris hat sich leider ein Denkfehler eingeschlichen.
Da als weitere Begrenzung der gesuchten Fläche auch die 1. Achse (= x-Achse) beteiligt ist, mußt Du das Integral unterteilen.
Als "Zwischenintegrationsgrenze" mußt hier noch die Nullstelle der Tangente berücksichtigen.
Siehe auch Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Deine Gesamtfläche ergibt sich also zu:
[mm] $A_{ges.} [/mm] \ = \ [mm] A_1 [/mm] \ + \ [mm] A_2$
[/mm]
mit
[mm] $A_1 [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \integral_{0}^{x_N} {f(x) \ dx} \ \right|$
[/mm]
[mm] $A_2 [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \integral_{x_N}^{2} {f(x)-t(x) \ dx} \ \right|$
[/mm]
Alles klar(er) nun ??
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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was bedeutet xN???
muss ich das ausrechnen? und wenn ja wie?
ich weiß net mal en zweiten term???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Di 22.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo NRWFigisti!
> was bedeutet xN???
> muss ich das ausrechnen? und wenn ja wie?
Dieses [mm] $x_N$ [/mm] ist die oben erwähnte Nullstelle der Tangente (siehe Skizze).
Ja - dieses [mm] $x_N$ [/mm] mußt Du erst ausrechnen.
Einfach Tangentengleichung gleich Null setzen und dann nach [mm] $x_N$ [/mm] umstellen: [mm] $t(x_N) [/mm] \ = \ 0$
> ich weiß net mal en zweiten term???
Meinst du die Funktionsvorschrift für die Tangente $t(x)$ ??
Du kennst doch die Steigung der Geraden, da [mm] $m_t [/mm] \ = \ f'(2)$.
Zudem können wir uns einen Punkt errechnen mit [mm] $y_t [/mm] \ = \ f(2)$.
Dann kannst Du über die Punkt-Steigungs-Form die Tangentengleichung ermitteln (siehe auch MatheBank unter  Geradengleichung):
[mm] $\bruch{y - y_0}{x - x_0} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y - f(2)}{x - 2} [/mm] \ = \ [mm] m_t [/mm] \ = \ f'(2)$
Loddar
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